Lebih Jauh tentang Galat Independen

4 , 32 48 , 6 500 48 , 6 48 , 6 42 25 16 1 5 4 1 2 2 2 2 2 2                                         q q z z y y x x q q      sehingga . 32 500   r

I. Fungsi Sebarang Satu Variabel

Seperti yang telah dijelaskan tentang bagaimana galat, semua independen dan sebaliknya, merambat melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, banyak perhitungan membutuhkan operasi yang lebih rumit, seperti perhitungan sinus, kosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui bagaimana galat merambat dalam kasus ini. Sebagai contoh, untuk mencari indeks bias ݊ kaca adalah dengan mengukur sudut kritis ߠ. Seperti yang telah diketahui dari optik dasar bahwa  sin 1  n . Oleh karena itu, jika dapat diukur sudut ߠ, akan dapat dengan mudah dihitung indeks bias ݊, tetapi kemudian harus ditentukan apakah galat ߜ݊ pada  sin 1  n d iakibatkan oleh galat ߜߠ pada pengukuran ߠ. Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔ dalam bentuk standar ݔ ᇱ ± ߜݔ dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍݔ yang dikenal, seperti ݍݔ = ଵ ୱ୧୬ ఏ atau ݍݔ = √ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafik ݍݔ seperti gambar berikut ini Gambar 3.9.1 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika ݔ diukur sebagai ݔ ᇱ + ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍݔ adalah ݍ ᇱ = ݍݔ ᇱ . Nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari ݍݔ bersesuaian dengan nilai ݔ ᇱ ± ߜݔ dari ݔ. Untuk menentukan galat ߜݍ adalah sebagai berikut: Nilai kemungkinan terbesar ݔ adalah ݔ ᇱ + ߜݔ. Dengan menggunakan grafik, maka akan dengan mudah dicari nilai kemungkinan terbesar ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௜௡ . Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus, 109 Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔ dalam bentuk standar ݔ ᇱ ± ߜݔ dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍݔ yang dikenal, seperti ݍݔ = ଵ ୱ୧୬ ఏ atau ݍݔ = √ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafik ݍݔ seperti gambar berikut ini Gambar 3.9.1 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika ݔ diukur sebagai ݔ ᇱ + ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍݔ adalah ݍ ᇱ = ݍݔ ᇱ . Nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari ݍݔ bersesuaian dengan nilai ݔ ᇱ ± ߜݔ dari ݔ. Untuk menentukan galat ߜݍ adalah sebagai berikut: Nilai kemungkinan terbesar ݔ adalah ݔ ᇱ + ߜݔ. Dengan menggunakan grafik, maka akan dengan mudah dicari nilai kemungkinan terbesar ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௜௡ . Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus, 109 Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ݔ dalam bentuk standar ݔ ᇱ ± ߜݔ dan ingin menghitung beberapa fungsi ݍݔ yang dikenal, seperti ݍݔ = ଵ ୱ୧୬ ఏ atau ݍݔ = √ݔ. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafik ݍݔ seperti gambar berikut ini Gambar 3.9.1 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika ݔ diukur sebagai ݔ ᇱ + ߜݔ, maka pendugaan terbaik untuk ݍݔ adalah ݍ ᇱ = ݍݔ ᇱ . Nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari ݍݔ bersesuaian dengan nilai ݔ ᇱ ± ߜݔ dari ݔ. Untuk menentukan galat ߜݍ adalah sebagai berikut: Nilai kemungkinan terbesar ݔ adalah ݔ ᇱ + ߜݔ. Dengan menggunakan grafik, maka akan dengan mudah dicari nilai kemungkinan terbesar ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ݍ, yang ditampilkan sebagai ݍ ௠௜௡ . Jika galat ߜݔ kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus, dan maks q dan min q terlihat sama jaraknya dari ݍ ᇱ . Galat ߜݍ kemudian dapat diperoleh dari grafik sebagai panjang yang ditampilkan, dan kemudian dapat dicari nilai ݍ dalam bentuk standar, yaitu ݍ ᇱ + ߜݍ. Kadang-kadang, galat dihitung dari grafik yang sudah dijelaskan. Akan tetapi, biasanya fungsi ݍݔ diketahui secara eksplisit, misalnya   x x q sin  dan   x x q  yang galatnya dapat dihitung secara analitik. Dari gambar 3.9.1 dapat dilihat bahwa ߜݍ = ݍݔ ᇱ + ߜݔ − ݍݔ ᇱ . 3.9.1 Pendekatan fundamental kalkulus menyatakan bahwa, untuk setiap fungsi ݍݔ dan setiap kenaikan ݑ yang cukup kecil, ݍݔ + ݑ − ݍݔ = ݀ݍ ݀ݔ ݑ . Jadi, jika galat ߜݔ kecil, maka persamaan 3.9.1 dapat ditulis menjadi ߜݍ = ݀ݍ ݀ݔ ߜݔ . 3.9.2 Jadi, untuk mencari galat ߜݍ , hanya dihitung turunan, dx dq dan dikalikan dengan galat ߜݔ. Rumus pada persamaan 3.9.2 bukanlah rumus akhir. Rumus ini diperoleh untuk digunakan pada suatu fungsi, seperti pada Gambar 3.9.1, yang kemiringannya positif. Gambar 3.9.2 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika kemiringan ݍݔ negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ bersesuaian dengan nilai minimum dari ݔ, dan sebaliknya. Gambar 3.9.2 menunjukkan suatu fungsi dengan kemiringan negatif. Di sini, nilai kemungkinan maksimum ݍ ௠௔௞௦ ternyata bersesuaian dengan nilai minimum ݔ, sehingga ߜݍ = − ݀ݍ ݀ݔ ߜݔ . 3.9.3 Karena dx dq negatif, maka dx dq  dapat ditulis sebagai dx dq , sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi ݍݔ, maka galat ߜݍ adalah ߜݍ = ฬ ݀ݍ ݀ݔฬ ߜݔ . 3.9.4 Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan 3.9.1 kadang-kadang lebih mudah. Gambar 3.9.2 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika kemiringan ݍݔ negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ bersesuaian dengan nilai minimum dari ݔ, dan sebaliknya. Gambar 3.9.2 menunjukkan suatu fungsi dengan kemiringan negatif. Di sini, nilai kemungkinan maksimum ݍ ௠௔௞௦ ternyata bersesuaian dengan nilai minimum ݔ, sehingga ߜݍ = − ݀ݍ ݀ݔ ߜݔ . 3.9.3 Karena dx dq negatif, maka dx dq  dapat ditulis sebagai dx dq , sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi ݍݔ, maka galat ߜݍ adalah ߜݍ = ฬ ݀ݍ ݀ݔฬ ߜݔ . 3.9.4 Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan 3.9.1 kadang-kadang lebih mudah. Gambar 3.9.2 Grafik ࢗ࢞ vs ࢞. Jika kemiringan ݍݔ negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ݍ bersesuaian dengan nilai minimum dari ݔ, dan sebaliknya. Gambar 3.9.2 menunjukkan suatu fungsi dengan kemiringan negatif. Di sini, nilai kemungkinan maksimum ݍ ௠௔௞௦ ternyata bersesuaian dengan nilai minimum ݔ, sehingga ߜݍ = − ݀ݍ ݀ݔ ߜݔ . 3.9.3 Karena dx dq negatif, maka dx dq  dapat ditulis sebagai dx dq , sehingga secara umum jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung fungsi ݍݔ, maka galat ߜݍ adalah ߜݍ = ฬ ݀ݍ ݀ݔฬ ߜݔ . 3.9.4 Kadang-kadang jika ݔ rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan menggunakan 3.9.1 kadang-kadang lebih mudah. Contoh 3.9.1 Andaikan diukur sudut ߠ berikut ini ߠ = 20 ± 3 ° . Hitunglah cos ߠ dan galatnya. Penyelesaian: Pendugaan terbaik dari cos ߠ adalah, cos 20 = 0,94, dan berdasarkan persamaan 3.9.4, galatnya adalah ߜcos ߠ = ฬ ݀ cos ߠ ݀ߠ ฬ ߜߠ = |sin ߠ|ߜߠ dalam radian 3.9.5. Telah ditunjukkan bahwa ߜߠ harus dinyatakan dalam radian, karena turunan dari cos ߠ adalah − sin ߠ hanya jika ߠ dinyatakan dalam radian. Oleh karena itu, ߜߠ = 3 ° dapat ditulis kembali sebagai ߜߠ = 3 20 |sin ߠ| = 3 20 |0,34| = 0,05 maka berdasarkan persamaan 3.9.5 menjadi ߜcos ߠ = หsin 20 ° ห × 0,05 = 0,34 × 0,05 = 0,02 Jadi, jawaban akhirnya adalah cos ߠ = 0,94 ± 0,02. Contoh 3.9.2 Andaikan diukur ݔ berikut ini ݔ = 3,0 ± 0,1. Hitunglah ݍ = ݁ ௫ dan galatnya. Penyelesaian: Pendugaan terbaik dari ݍ = ݁ ௫ adalah, ݍ = ݁ ଷ,଴ = 19,90, dan berdasarkan persamaan 3.9.4, galatnya adalah ߜ݁ ௫ = ฬ ݀݁ ௫ ݀ߠ ฬ ߜߠ = | ݁ ௫ | ߜߠ dalam radian 3.9.6. ߜߠ = 0,1 dapat ditulis kembali sebagai ߜݍ = 0,1 3,0 | ݁ ௫ | = 0,1 3,0 | ݁ ଷ,଴ | = 0,6, maka berdasarkan persamaan 3.9.5 menjadi ߜ݁ ௫ = | ݁ ௫ | × 0,6 = 19,90 × 0,6 = 11,94. Jadi, jawaban akhirnya adalah cos ߠ = 19,90 ± 11,94. Contoh 3.9.3 Andaikan diukur besaran ݔ. Hitunglah ݍݔ = ݔ ௡ ݊ sebarang bilangan, positif atau negatif dan galatnya. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan 3.9.4, galat di ݍ adalah ߜݍ = ฬ ݀ݍ ݀ݔฬ ߜݔ = | ݊ݔ ௡ିଵ | ߜݔ. Jika kedua ruas dibagi dengan persamaan | ݍ| = |ݔ ௡ |, dapat dihasilkan ߜݍ | ݍ| = | ݊| ߜݔ | ݔ| 3.9.7 yaitu, galat fraksional di ݍ = ݔ ௡ adalah ݊ kali galat fraksional di x . Hasil persamaan 3.9.7 ini adalah aturan pada persamaan 3.5.1, kecuali bahwa hasil persamaan 3.9.7 lebih umum, karena ݊ bisa sebarang bilangan. Contohnya, jika 2 1  n , maka ݍ = √ݔ , dan ߜݍ | ݍ| = 1 2 ߜݔ | ݔ| , yaitu, galat fraksional di √ݔ adalah setengah dari galat fraksional di ݔ. Persamaan 3.9.7 hanyalah kasus khusus dari persamaan 3.9.4. Jika ݔ diukur dengan galat ߜݔ dan digunakan untuk menghitung ݍ = ݔ ௡ ݊ sebarang bilangan, positif atau negatif, maka galat fraksional di ݍ adalah |ݔ| kali galat fraksional di ݔ, ߜݍ | ݍ| = | ݊| ߜݔ | ݔ| . Contoh 3.9.4 Andaikan diukur ݔ berikut ini ݔ = 100 ± 6. Hitunglah ݍ = √ݔ dan galatnya. Penyelesaian: Pendugaan terbaik dari ݍ = √ݔ adalah, ݍ = √ݔ = √100 = 10, dan berdasarkan persamaan 3.9.7, galatnya adalah ߜݍ | ݍ| = | ݊| ߜݔ | ݔ| = 1 2 × 6 100 = 0,03 ߜݍ = 10 × 0,03 = 0,3 Jadi, ݍ = 10,0 ± 0,3.

J. Rumus Umum Rambat Galat

Andaikan diukur tiga besaran y x , , dan z . Hitunglah z x y x q    3.10.1 di mana terdapat variabel yang muncul lebih dari sekali dalam kasus ini x . Jika galatnya dihitung dalam langkah-langkah, maka pertama akan dihitung galat dalam jumlah yaitu, y x  dan z x  , kemudian dihitung galat dalam pembagian. Jika cara ini dilakukan, maka yang akan terjadi adalah kehilangan kemungkinan bahwa galat pada pembilang terkait dengan galat di x , mungkin, sampai batas tertentu, menghilangkan galat pada penyebut terkait dengan galat di x . Untuk memahami bagaimana kanselasi ini dapat terjadi, andaikan bahwa y x , dan z adalah bilangan positif, dan pertimbangkan apa yang terjadi jika pengukuran x adalah pengukuran yang mempunyai galat. Jika x diduga secara berlebihan, maka y x  dan z x  juga diduga secara berlebihan, dan untuk sebagian besar dari pendugaan ini menghapus satu sama lain ketika dihitung     z x y x   . Demikian pula, menduga terlalu rendah x mendorong untuk menduga terlalu rendah y x  dan z x  , yang juga menghapus satu sama lain ketika dihitung dalam bentuk pembagian. Dalam kedua kasus, galat di x pada hakekatnya dihapuskan pada pembagian     z x y x   . Setiap kali suatu fungsi melibatkan besaran yang sama lebih dari sekali, seperti dalam 3.10.1, beberapa galat dapat menghapus sendiri. Jika kanselasi ini mungkin, maka perhitungan galat bertahapnya dapat menduga secara berlebihan galat akhirnya. Satu-satunya cara untuk menghindari pendugaan secara berlebihan ini adalah menghitung galat dalam satu langkah dengan menggunakan metode berikut ini. Andaikan diukur dua besaran x dan y dan kemudian dihitung beberapa fungsi   y x q q ,  . Fungsi ini bisa berupa fungsi sederhana seperti y x q   atau fungsi yang lebih rumit seperti     xy y x q sin 3   . Untuk fungsi   x q dari variabel tunggal, jika penduga terbaik untuk x adalah x , maka penduga terbaik untuk   x q  adalah   x q  . Selanjutnya, jika nilai kemungkinan ekstrim x adalah x x   dan bahwa nilai-nilai ekstrim q yang sesuai adalah   x x q   . 3.10.2 Akhirnya, digunakan pendekatan     u dx dq x q u x q    3.10.3 untuk setiap kenaikan kecil u untuk menulis ulang nilai-nilai kemungkinan ekstrim 3.10.2 sebagai   x dx dq x q   , 3.10.4 dimana nilai mutlak adalah untuk memenuhi kemungkinan dx dq negatif. Hasil 3.10.4 berarti bahwa x dx dq q    . Jika q adalah fungsi dari dua variabel,   y x q , , argumennya adalah sama. Jika x dan y merupakan pendugaan terbaik untuk x dan y , maka diharapkan bahwa pendugaan terbaik untuk q adalah   , y x q q  . Untuk memduga galat pada hasil ini, maka perlu untuk menggeneralisasi pendekatan 3.10.3 untuk fungsi dari dua variabel. Generalisasi yang dimaksudkan adalah     v y q u x q y x q v y u x q          , , , 3.10.5 di mana u dan v adalah setiap kenaikan kecil di x dan y , dan x q   dan y q   adalah yang disebut turunan parsial dari q terhadap x dan y . Artinya, x q   adalah hasil turunan q terhadap x sementara y tetap, dan sebaliknya untuk y q   . Nilai-nilai kemungkinan ekstrim untuk x dan y adalah x x   dan y y   . Jika nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam 3.10.5 dan ingat bahwa x q   dan y q   bisa positif atau negatif, maka nilai-nilai ekstrim dari q adalah               y y q x x q y x q   , . Ini berarti bahwa galat dalam   y x q , adalah y y q x x q q          . 3.10.6 Andaikan bahwa   y x y x q   , , 3.10.7 Turunan parsial keduanya adalah satu, 1       y q x q , 3.10.8 dan berdasarkan 3.10.6, y x q      . 3.10.9 Ini hanyalah aturan sementara bahwa galat di y x  adalah jumlah dari galat di x dan y . Aturan 3.10.6 dapat digeneralisasi dalam berbagai cara. Jika galat x  dan y  independen dan acak, jumlahan pada 3.10.6 dapat diganti dengan kuadrat jumlah. Jika fungsi q tergantung pada lebih dari dua variabel, maka cukup ditambahkan suku tambahan untuk setiap variabel tambahan. Dengan cara ini, maka sampailah pada rumus umum berikut. Andaikan bahwa z x ,..., diukur dengan galat z x   ,..., dan nilai-nilai hasil pengukuran digunakan untuk menghitung fungsi   z x q ,..., . Jika galat di z x ,..., independen dan acak, maka galat di q adalah 2 2 ...                    z z q x x q q    . 3.10.10 Galat ini tidak pernah lebih besar daripada penjumlahan biasa z z q x x q q           ... . 3.10.11 Meskipun rumus 3.10.10 dan 3.10.11 terlihat cukup rumit, namun mudah untuk dipahami. Misalnya, andaikan bahwa di antara semua besaran hasil pengukuran, z y x ,..., , , hanya x yang mempunyai galat ...    z y   . Kemudian 3.10.10 hanya berisi satu suku dan akan dicari x x q q      jika ...    z y   3.10.12 Dengan kata lain, suku x x q    dengan sendirinya adalah galat, atau galat parsial, di q yang disebabkan oleh galat di x saja. Dengan cara yang sama, y y q    adalah galat parsial di q yang disebabkan oleh galat di y saja. Mengacu kembali ke 3.10.10, dapat dilihat bahwa galat total di q adalah jumlah kuadrat dari galat parsial yang terkait dengan setiap galat yang terpisah, z y x    ,..., , dengan ketentuan independen. Ini adalah cara yang baik untuk berpikir tentang hasil 3.10.10, dan cara ini menunjukkan cara paling sederhana untuk menggunakan 3.10.10 untuk menghitung total galat di q : Pertama, menghitung galat parsial di q secara terpisah, menggunakan 3.10.12, kemudian menggabungkan galat-galat terpisah ini dalam jumlah kuadrat untuk mendapatkan galat total seperti dalam 3.10.10. Dengan cara yang sama, apakah z y x    ,..., , independen atau tidak, aturan 3.10.11 mengatakan bahwa galat total di q tidak pernah melebihi penjumlahan biasa dari galat parsial secara terpisah.