Perkalian dan Pembagian Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian

Andaikan dilakukan percobaan dan diperoleh hasil sebagai berikut Berdasarkan persamaan 3.3.2.4, pendugaan terbaiknya adalah Berdasarkan persamaan 3.3.2.5, galat fraksional masing-masing pohon adalah Jadi 2 ms 4 , 4 100 8 55    l  jawaban akhirnya adalah . 3 2 1 l l l l  , 2 02 , 100 2 1 1    l l  , 2 02 , 5 , 5 1 , 2 2    l l  . 4 04 , , 10 4 , 3 3    l l  , 8 4 2 2 3 3 2 2 1 1        l l l l l l l l     . 4 55 m l   . 55 , 10 5 , 5 100 m l    . 4 , , 10 3 m l   , 1 , 5 , 5 2 m l   , 2 100 1 m l   Terdapat dua kasus khusus yang penting dari rumus 3.3.2.5. Salah satunya terkait hasil kali dua bilangan yang salah satunya tidak mempunyai galat. Kasus yang lainnya melibatkan pangkat misalnya dari nilai yang diukur.

D. Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak

Misalkan diukur suatu besaran dan kemudian digunakan suatu nilai yang terukur untuk menghitung hasil kali , di mana tidak mempunyai galat. Sebagai contoh, menghitung keliling lingkaran dan mengukur ketebalan kertas yang terdiri dari 200 lembar, jika kemudian akan dihitung ketebalan per satu lembar , maka . Berdasarkan rumus 3.3.2.5, galat fraksional di adalah jumlah galat fraksional di dan . Karena  B  , ini berarti bahwa Artinya, galat fraksional di sama dengan galat fraksional di . Hasil ini dapat dinyatakan secara berbeda jika dikalikan sebagai untuk mendapatkan . Dari penjelasan tersebut, jika besaran diukur dengan galat dan digunakan untuk menghitung hasil kali dimana tidak mempunyai galat, maka 3.4.1 3 x x Bx q  B   d k     T   t T t   200 1 Bx q  B x . x x q q    Bx q  x Bx q  Bx q  x B q    x x  , Bx q  B . x B q    Rumus ini berguna dalam mengukur sesuatu yang sangat kecil atau tipis, seperti ketebalan selembar kertas atau waktu untuk sekali revolusi roda yang berputar cepat. Contoh 3.4.1 Jika diukur ketebalan 200 kertas , yaitu maka ketebalan per satu lembarnya adalah Perhatikan bagaimana teknik ini membuat mudah suatu pengukuran yang seharusnya membutuhkan peralatan yang cukup canggih dan bahwa teknik ini memberikan galat yang sangat kecil. Contoh 3.4.2 Andaikan diukur diameter sebuah lingkaran, yaitu maka kelilingnya adalah dan galatnya   T   t   , 31 , 1 , 7 22 cm d k       cm d k 7 , 15 , 5 7 22      , 1 , , 5 cm d     . 0005 , 0070 , 1 , 4 , 1 200 1 200 1 cm T t        , 1 , 4 , 1 cm T   Sehingga cm. 3 , 7 , 15 31 , 7 , 15     k

E. Pangkat

Misalkan akan diukur kecepatan dari beberapa objek, kemudian, untuk mencari energi kinetiknya , haruslah dihitung lebih dahulu. Karena berarti , maka menurut persamaan 3.3.2.5 bahwa galat fraksional di adalah dua kali galat fraksional di . Secara umum, jika besaran diukur dengan galat dan nilai hasil pengukurannya digunakan untuk menghitung pangkat maka galat fraksional di adalah kali galat fraksional di , 3.5.1 Contoh 3.5.1 Panjang sisi sebuah kubus adalah Carilah volume beserta dengan galatnya Penyelesaian: Galat sisi   v 2 2 1 mv 2 v 2 v v v  2 v v x x  , n x q  q n x . x x n q q    . 1 01 , 00 , 2 02 ,    s s  . 02 , 00 , 2 cm s   Volume kubus galat kubus Jadi, Contoh 3.5.2 Andaikan seorang siswa mengukur percepatan gravitasi dengan mengukur waktu jatuhnya sebuah batu dari ketinggian dari tanah. Setelah melakukan beberapa kali, maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa detik, dan ketinggiannya adalah maka 2 2 2 ms 7 , 9 6 , 1 4 , 12 2 2     t h g . Galat fraksionalnya adalah dan 3 1 3 3     s s V V     g   t   h 1 , 6 , 1   t , 4 , 2 024 , 4 , 12 3 ,    h h  , 3 , 4 , 12 m h   . 24 , 00 , 8 cm V   cm V 24 , 100 3 00 , 8     , 00 , 8 00 , 2 3 3 cm s V    Berdasarkan persamaan 3.5.1 maka galat fraksional di adalah dua kali galat fraksional di . Dengan menggabungkan ke persamaan 3.3.2.5 maka galat fraksionalnya adalah 3.5.2 dan galatnya adalah 2 ms 46 , 1 100 , 15 7 , 9    g  . Jadi, 2 ms 5 , 1 7 , 9 46 , 1 7 , 9     g . ■ Contoh tersebut menggambarkan bagaimana sederhananya pendugaan galat dapat dilakukan. Contoh ini juga menggambarkan bagaimana analisis galat menyatakan tidak hanya ukuran galat namun juga bagaimana untuk menguranginya. Dalam contoh ini, persamaan 3.5.2 menunjukkan bahwa kontribusi terbesar berasal dari pengukuran waktu. Jika ingin mendapatkan nilai yang lebih tepat, maka pengukuran harus ditingkatkan. Nilai sebenarnya dari adalah 2 ms 8 , 9 , yang terletak di antara margin galat. Dengan demikian, siswa tersebut dapat menyimpulkan bahwa pengukuran, meskipun tidak terlalu akurat, namun konsisten dengan nilai yang sebenarnya. . 3 , 6 063 , 6 , 1 1 ,    t t  2 t t t t h h g g    2     , 15 6 , 12 4 , 2 3 , 6 2 4 , 2      g t g g F. Kovariansi pada Perambatan Galat Standar deviasi ߪ ௫ dari ܰ pengukuran ݔ ଵ , … , ݔ ே didefinisikan sebagai ߪ ௫ ଶ = 1 ܰ ෍ ݔ ௜ − ݔҧ ଶ . ே ௜ୀଵ 3.6.1 Andaikan bahwa untuk mencari nilai fungsi ݍݔ, ݕ, diukur dua besaran ݔ dan ݕ beberapa kali, kemudian diperoleh ܰ pasangan data, ݔ ଵ , ݕ ଵ , … , ݔ ே , ݕ ே dari ܰ pengukuran ݔ ଵ , … , ݔ ே , dapat dihitung rata-rata, ݔҧ dan standar deviasi, ߪ ௫ , begitu juga dengan pengukuran ݕ ଵ , … , ݕ ே , dapat dihitung ݕത dan ߪ ௬ . Kemudian dengan menggunakan ܰ pasang pengukuran, dapat dihitung ܰ nilai besaran hasilnya, yaitu ݍ ௜ = ݍݔ ௜ , ݕ ௜ , ݅ = 1, … , ܰ. Dari hasil ݍ ଵ , … , ݍ ே , dapat dihitung nilai rata-ratanya, ݍത, yang diasumsikan memberikan pendugaan terbaik untuk ݍ, dan standar deviasinya, ߪ ௤ , yang merupakan ukuran galat acak pada nilai ݍ ௜ . Andaikan bahwa semua galat adalah kecil dan oleh karena itu semua bilangan ݔ ଵ , … , ݔ ே dekat dengan ݔҧ dan semua bilangan ݕ ଵ , … , ݕ ே dekat dengan ݕത, kemudian dapat dibuat pendekatan berikut ini ݍ ௜ = ݍݔ ௜ , ݕ ௜ ≈ ݍݔ,ഥ ݕത + ߲ݍ ߲ݔ ݔ ௜ − ݔҧ + ߲ݍ ߲ݕ ݕ ௜ − ݕത. 3.6.2 Pada rumus ini, turunan parsial x q   dan y q   digunakan pada ݔ = ݔҧ, ݕ = ݕത, dan berlaku sama untuk semua ݅ = 1, … , ܰ. Dengan pendekatan ini, rata-ratanya menjadi