Jika dibuat pengukuran tunggal menggunakan metode yang sama, probabilitasnya adalah 68 bahwa hasilnya akan berada dalam
ߪ
௫
dari nilai sebenarnya. Jadi,
ߪ
௫
dapat dipakai untuk mengartikan secara tepat apa yang dimaksud dengan galat. Jika dibuat satu pengukuran
ݔ, galat yang berhubungan dengan pengukuran adalah
ߜݔ = ߪ
௫
; dengan ini, terdapat keyakinan sebanyak 68 bahwa pengukuran berada dalam
ߜݔ dari jawaban yang benar. Untuk menggambarkan penerapan dari ide ini, andaikan terdapat kotak yang
berisi pegas-pegas yang sama. Kemudian dicari konstanta pegasnya, ݇.
Pengukuran konstanta pegas adalah dengan membebani setiap pegas dan mengamati perpanjangannya atau dengan menangguhkan massa dari setiap pegas
dan mengukur waktu osilasinya. Apapun metode yang dipilih, perlu diketahui ݇
dan galatnya, ߜ݇ untuk setiap pegas, tetapi akan memakan waktu untuk
mengulang pengukuran berkali-kali pada setiap pegasnya. Malahan, jika diukur ݇
untuk pegas pertama beberapa 5 atau 10 kali, maka rata-rata pengukuran ini harus memberikan pendugaan yang baik dari
݇ untuk pegas pertama. Standar deviasi,
ߪ
dari pengukuran memberikan pendugaan galat dalam metode untuk mengukur
݇. Asalkan semua pegas sama dan metode yang digunakan untuk mengukur setiap pegas juga sama, maka harapannya adalah galatnya sama pada
setiap pengukuran. Jadi, untuk setiap pegas berikutnya, hanya perlu dibuat satu pengukuran, dan dapat segera dinyatakan bahwa galat
ߜ݇ adalah standar deviasi,
ߪ
yang diukur untuk pegas pertama, dengan keyakinan 68 bahwa jawabannya berada dalam
ߪ
dari nilai yang benar.
Contoh 4.2.1
Andaikan dilakukan 10 pengukuran pada pegas pertama dan mendapatkan nilai hasil pengukuran
݇ berikut ini 86, 85, 84, 89, 85, 89, 87, 85, 82, 85.
Hitunglah rata-rata dan standar deviasinya. Penyelesaian :
Tabel 4.2.2 Penghitungan Standar Deviasi Pegas
No. Nilai hasil
pengukuran ݇
Simpangan ݀
= ݇
− ݇ത Simpangan
kuadrat ݀
ଶ
1 86
0,3 0,9
2 85
-0,7 0,49
3 84
-1,7 2,89
4 89
3,3 10,89
5 85
-0,7 0,49
6 89
3,3 10,89
7 87
1,3 1,69
8 85
-0,7 0,49
9 82
-3,7 13,69
10 85
-0,7 0,49
Jumlah 857
42,91 Rata-ratanya adalah
Nm 7
, 85
10 857
n k
k
i
dan standar deviasinya adalah
2
1 -
1
i k
d n
1 -
10 42,91
Nm 2
16 ,
2 7
, 4
9 42,91
. Galat pada setiap satu pengukuran
݇ adalah sekitar Nm 2
. Jika sekarang diukur pegas yang kedua sebanyak satu kali dan menghasilkan
Nm 71
k
, maka Nm
2
k
k
dan menyatakan dengan keyakinan 68 bahwa
݇ terletak dalam kisaran
Nm 2
71
k
.
C. Standar Deviasi Nilai Rata-rata
Jika ݔ
ଵ
, … , ݔ
adalah hasil ݊ pengukuran besaran ݔ yang sama, maka
pendugaan terbaik untuk besaran ݔ adalah ݔҧ. Telah diketahui juga bahwa ߪ
௫
mengkarakterisasi galat nilai rata-rata pengukuran ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
. Galat pada hasil akhir
ݔ
ᇱ
= ݔҧ ditunjukkan oleh
ߪ
௫̅
= ߪ
௫
√݊ .
4.3.1 Besaran ini disebut standar deviasi nilai rata-rata. Besaran ini sering disebut juga
sebagai standar galat atau standar galat nilai rata-rata. Jadi, berdasarkan pada ݊
pengukuran ݔ
ଵ
, … , ݔ
, dapat dinyatakan bahwa jawaban akhirnya adalah ݔ = ݔ
ᇱ
± ߜݔ,
dimana ݔ
ᇱ
= ݔҧ, nilai rata-rata dari ݔ
ଵ
, … , ݔ
, dan ߜݔ adalah standar deviasi nilai
rata-rata,
ߜݔ = ߪ
௫̅
= ߪ
௫
√݊ .
4.3.2
Contoh 4.3.1
Berdasarkan pengukuran pada contoh 4.2.1. Hitunglah rata-rata dan galatnya. Penyelesaian :
Rata-ratanya Nm
7 ,
85
k ,
standar deviasinya Nm
2 ,
2
k
,
standar deviasi nilai rata-ratanya
Nm 7
, 16
, 3
2 ,
2 10
2 ,
2
n
k k
, hasil akhirnya adalah
Nm 0,7
85,7
k
. ■
Keunggulan dari standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor √݊ pada
penyebutnya. Standar deviasi ߪ
௫̅
menyatakan galat nilai rata-rata pengukuran ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
. Jadi, jika akan dibuat beberapa pengukuran menggunakan teknik yang sama,
ߪ
௫
tidak akan berubah secara signifikan. Di sisi lain, standar deviasi nilai rata-ratanya perlahan-lahan akan berkurang selama
݊ meningkat. Penurunan ini merupakan hal yang diharapkan. Jika dibuat pengukuran yang lebih banyak
sebelum menghitung rata-rata, maka akan diharapkan hasil akhir yang lebih dapat dipercaya. Kesimpulan ini memberikan suatu cara yang jelas untuk meningkatkan
presisi suatu pengukuran.
Sayangnya, faktor √݊ meningkat agak lambat sebagaimana peningkatan ݊.
Sebagai contoh, jika ingin meningkatkan presisi sebanyak 10 hanya dengan meningkatkan jumlah pengukuran
݊, maka harus meningkatkan ݊ sebanyak 100. Dalam prakteknya, jika ingin meningkatkan presisi secara signifikan, akan lebih
baik untuk meningkatkan teknik daripada hanya mengandalkan peningkatan jumlah pengukuran.
Contoh 4.3.2
Andaikan diukur konstanta pegas, ݇, dengan mengukur waktu osilasi massa, ݉,
yang sesuai sampai akhir. Periode untuk osilasi tersebut adalah ܶ = 2ߨට
݉ ݇
. Hitunglah konstanta pegas dan galatnya.
Penyelesaian : Dengan mengukur
ܶ dan ݉, dapat dicari nilai ݇ sebagai berikut ݇ =
4 ߨ
ଶ
݉ ܶ
ଶ
. 4.3.3
Cara paling sederhana untuk mencari ݇adalah mengambil satu massa yang
diketahui secara akurat dan membuat beberapa pengukuran ܶ. Bagaimanapun,
pengukuran waktu untuk beberapa massa yang berbeda mungkin lebih menarik. Sebagai contoh, dapat diperiksa bahwa
ܶ~√݉ sama baiknya seperti pengukuran ݇.
Tabel 4.3.1 Pengukuran Konstanta Pegas,
No.
Massa, ݉
݇݃ Periode
ܶ ݏ
݇ = 4
ߨ
ଶ
݉ ܶ
ଶ
1 0,513
1,24 13,17
2 0,581
1,33 12,97
3 0,634
1,36 13,53
4 0,691
1,44 13,15
5 0,752
1,50 13,18
6 0,834
1,59 13,02
7 0,901
1,65 13,06
8 0,950
1,69 13,12
Jumlah 105,2
Ini jelas tidak masuk akal untuk merata-rata massa dan waktu yang berbeda karena massa dan waktu bukanlah pengukuran yang berbeda dari besaran yang
sama. Selain itu juga tidak dapat memperoleh galat dalam pengukuran dengan membandingkan nilai
݉ yang berbeda. Di sisi lain, setiap nilai ݉ dapat digabungkan dengan periode
ܶ yang sesuai dan menghitung ݇. Jawaban untuk ݇ adalah semua pengukuran dari besaran yang sama sehingga dapat dijadikan subjek
analisis statistik.
Tabel 4.3.2 Penghitungan Standar Deviasi Konstanta Pegas
No. Nilai hasil
pengukuran ݇
Simpangan ݀
= ݇
− ݇ത Simpangan
kuadrat ݀
ଶ
1 13,17
0,02 0,0004
2 12,97
-0,18 0,0324
3 13,53
0,38 0,1444
4 13,15
5 13,18
0,03 0,0009
6 13,02
-0,13 0,0169
7 13,06
-0,09 0,0081
8 13,12
-0,03 0,0009
Jumlah 105,2
0,204
Secara khusus, pendugaan terbaik untuk ݇ adalah nilai rata-ratanya, yaitu
Nm 13,15
8 105,2
i
n k
k
, standar deviasinya
ߪ
= ඨ
1 ݊ − 1 ݀
ଶ
= ඨ
0,204 8
− 1
Nm 17
, 7
204 ,
. dan galatnya adalah standar deviasi nilai rata-ratanya,
Nm 06
, 8
17 ,
n
k k
. Dengan demikian, jawaban akhirnya adalah
Nm 06
, 15
, 13
k
.
D. Galat Sistematis
Pada beberapa subbab sebelumnya telah dinyatakan bahwa semua galat sistematis diperkecil bahkan diabaikan sebelum pengukuran dimulai. Di sini akan
dibahas tentang kemungkinan adanya galat sistematis yang signifikan. Contohnya, mengukur massa dengan neraca yang dibaca secara konsisten tinggi atau rendah,
pengukur waktu yang berjalan secara konsisten cepat atau lambat. Kedua galat sistematis ini tidak akan muncul dalam perbandingan berbagai jawaban untuk
konstanta pegas ݇. Akibatnya, standar deviasi nilai rata-ratanya dapat dianggap
sebagai komponen acak ߜ݇
dari galat total ߜ݇ tapi tentu saja besarnya tidak
sama dengan galat totalnya. Masalahnya adalah untuk menentukan bagaimana menduga komponen sistematis,
ߜ݇
௦௦
dan kemudian bagaimana menggabungkan ߜ݇
dan ߜ݇
௦௦
untuk menghasilkan galat totalnya, ߜ݇.
Tidak ada teori sederhana yang menjelaskan tentang apa yang harus dilakukan terhadap galat sistematis. Bahkan, satu-satunya teori galat sistematis
adalah bahwa galat ini harus diidentifikasi dan diperkecil sampai kurang dari presisi yang diperlukan. Dalam sebuah laboratorium pengajaran, tujuan ini sering
tidak dicapai. Para siswa sering tidak dapat memeriksa satu penggaris terhadap penggaris yang lebih baik untuk mengoreksinya, apalagi membeli penggaris baru
untuk menggantikan yang lama. Untuk alasan ini, beberapa laboratorium pengajaran menetapkan aturan bahwa, tidak adanya informasi yang lebih spesifik,
penggaris harus dipertimbangkan mempunyai beberapa galat sistematis tertentu. Sebagai contoh, stopwatch mempunyai galat sistematis hingga 0,5, voltmeter
dan ammeter mempunyai galat sistematis hingga 3. Dengan aturan ini, terdapat berbagai cara yang mungkin untuk melanjutkan
prosesnya. Tidak ada yang benar-benar dengan tegas dibenarkan. Pada contoh terakhir, konstanta pegas
2 2
4 T
m k
dicari dengan mengukur nilai-nilai ݉ dan
nilai ܶ yang bersesuaian. Analisis statistis dari berbagai jawaban untuk ݇
memberikan komponen acak ߜ݇ berikut ini
Nm 0,7
k acak
k
. 4.4.1
