Bandingkan persamaan ini dengan bentuk umum .
Di sini
dapat dilihat
bahwa pendugaan
terbaik untuk
adalah dan bahwa galat fraksional dalam
adalah jumlah dari galat fraksional dalam m dan v,
.
Jika, m dan v diketahui, yaitu
kg 0,01
0,53
m
dan
ms 0,3
9,1
v
pendugaan terbaik untuk adalah
kgms 82
, 4
1 ,
9 53
,
terbaik
terbaik terbaik
v m
.
Untuk menghitung galat dalam , pertama-tama akan dihitung galat
fraksional
dan .
Galat fraksional dalam adalah penjumlahan keduanya
terbaik terbaik
1
terbaik terbaik
terbaik
v m
terbaik terbaik
terbaik
v v
m m
mv
2 02
, 53
, 01
,
terbaik
m m
3 03
, 1
, 9
3 ,
terbaik
v v
.
Jika ingin mengetahui galat mutlak dalam , maka harus mengalikannya
dengan .
Kemudian dan
dibulatkan untuk mendapatkan jawaban akhir
kgms 0,2
4,8
.
Contoh 2.5.9.1
Carilah luas sebuah piring persegi panjang jika diketahui panjangnya adalah
cm 0,1
9,1
p
dan lebarnya adalah
cm 0,1
3,3
l
. Nyatakan galat ini sebagai galat persen dan kemudian carilah luasnya
dengan galatnya. Penyelesaian
cm 0,1
9,1
p
dan
cm 0,1
3,3
l
pendugaan terbaik untuk adalah
2
cm 03
, 30
3 ,
3 1
, 9
terbaik terbaik
terbaik
l L
.
Untuk menghitung galat dalam , pertama-tama akan dihitung galat
fraksional 5
3 2
terbaik
terbaik
241 ,
82 ,
4 05
,
terbaik terbaik
p
terbaik
pl L
pl L
L
.
dan .
Galat fraksional dalam adalah penjumlahan keduanya
. galat mutlak dalam
. Kemudian
dan dibulatkan untuk mendapatkan jawaban akhir
2
cm 1,2
30,0
L
.
F. Nilai Harapan
Konsep dari nilai harapan memegang peranan penting dalam statistika. Contoh yang paling mudah adalah rata-rata dan variansi suatu variabel random.
Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam teknik- teknik analisis statistika elementer atau lanjut. Yang dimaksud dengan nilai
harapan dinyatakan dengan definisi berikut ini :
Definisi 2.6.1 Nilai Harapan
Nilai harapan 1
010 ,
1 ,
9 1
,
terbaik
p p
3 030
, 3
, 3
1 ,
terbaik
l l
L
4 3
1
terbaik
L L
L 201
, 1
03 ,
30 04
,
terbaik terbaik
L L
L L
L
terbaik
L
Teorema 2.6.1 Nilai Harapan
Misalkan Y suatu variabel random dengan distribusi peluang atau
. Nilai harapan fungsi
adalah
Sifat-sifat Nilai Harapan Teorema 2.6.2 Konstanta Nilai Harapan
Jika dan
konstanta, maka
Bukti :
Menurut definisi nilai harapan,
n i
i n
i i
i n
i n
n i
n n
n i
i i
y f
b y
f y
a y
f y
f y
f b
y f
y y
f y
y f
y a
y f
b ay
y f
b ay
y f
b ay
y f
b ay
b aY
E
1 1
2 2
2 1
2 2
1 1
1
... ...
...
Jumlah yang disebelah kanan adalah dan jumlah yang kedua sama dengan
1. Jadi,
y f
Y dy
y yf
y p
Y y
p y
Y E
n i
i
densitas fungsi
dengan kontinu
jika ,
as probabilit
fungsi dengan
diskret jika
,
1 1
y p
y f
Y g
kontinu jika
, diskret
jika ,
Y y
f y
g Y
y p
y g
Y g
E
y
a b
b Y
aE b
aY E
Y E
b Y
aE b
aY E
Teorema 2.6.3 Nilai Harapan Jumlah Dua Variabel Random
Misalkan
Y g
1
dan
Y g
2
adalah dua fungsi dari variabel random
Y
, maka
Y g
E Y
g E
Y g
Y g
E
2 1
2 1
Bukti :
Berdasarkan definisi 2.6.1,
.
2 1
2 1
2 1
2 1
Y g
E Y
g E
y p
y g
y p
y g
y p
y g
y g
Y g
Y g
E
y y
y
Akibat 2.6.1
Nilai harapan jumlahan angka berhingga fungsi dari variabel random
Y
, sama dengan jumlah dari nilai harapannya
. ...
...
2 1
2 1
Y g
E Y
g E
Y g
E Y
g Y
g Y
g E
n n
Teorema 2.6.4 Perkalian Dua Variabel Random Bebas
Misalkan
Y g
1
dan
Y g
2
dua fungsi dari variabel random bebas
Y
, maka
.
2 1
2 1
Y g
E Y
g E
Y g
Y g
E
Bukti :
Karena
Y g
1
dan
Y g
2
bebas, maka dapat ditulis
2 1
y q
y p
y f
dengan
1
y p
dan
2
y q
menyatakan masing-masing distribusi marginal
Y g
1
dan
Y g
2
. Jadi,
.
1 2
1 1
1 2
1 2
1 1
1 2
2 2
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
Y g
E Y
g E
dy y
p y
g Y
g E
dy Y
g E
y p
y g
dy dy
y q
y g
y p
y g
dy dy
y q
y p
y g
y g
Y g
Y g
E
Akibat 2.6.2
Nilai harapan dari perkalian beberapa fungsi dari variabel random bebas
Y
, sama dengan perkalian nilai harapannya
. ....
,..., ,
2 1
2 1
Y g
E Y
g E
Y g
E Y
g Y
g Y
g E
n n
Akibat 2.6.3
Jika c konstanta, maka
. Y
g cE
Y cg
E
G. Variansi dan Kovariansi
Salah satu nilai harapan yang penting adalah variansi yang merupakan nilai harapan fungsi
, dimana .
Definisi 2.7.1 Variansi
Variansi variabel random
Akar pangkat dua dari adalah standard deviasi dari
dan diberi notasi .
Kegunaan dari variansi adalah untuk mengukur keragaman data.
2
Y Y
g
Y E
Y
2 2
2
Y E
Y E
Y Var
Y Var
Y
Teorema 2.7.2 Variansi Konstanta
Bila ada konstanta, maka
.
Bukti :
.
Definisi 2.7.2 Kovariansi
Kovariansi dari dua variabel random dan
dinotasikan dengan
H. Korelasi
Definisi 2.8.1 Korelasi
Ukuran keeratan hubungan linear antara dua variabel X dan Y diduga dengan koefisien korelasi sampel
ݎ, didefinisikan sebagai
Y Var
X Var
Y X
Kov y
y x
x y
x y
x n
r
n i
i n
i i
n i
i n
i i
n i
n i
i n
i i
i i
XY
,
2 1
1 2
2 1
1 2
1 1
1
a
Y Var
a aY
Var
2
Y Var
a Y
Y E
a Y
a aY
E aY
Var
2 2
2 2
X Y
Y X
Kov ,
Y E
X E
XY E
Y E
X E
Y E
X E
X E
Y E
XY E
Y E
X E
Y XE
X YE
XY E
Y E
Y X
E X
E Y
X Kov
,
Nilai ݎ adalah -1 sampai +1. Tanda - menyatakan korelasi negatif sedangkan
tanda + menyatakan korelasi positif. Hubungan linear sempurna terdapat antara nilai-nilai
ܺ dan ܻ dalam sampel, bila ݎ = +1 atau ݎ = -1.
