Kegiatan Pembelajaran 1
16
radio pada acara tersebut? Cukupkah bilangan asli atau bilangan cacah untuk menggambarkan situasi di atas? Pernahkah anda mengamati suatu pintu air di
sungai, bilangan apa sajakah yang terdapat pada skala pada pintu air itu? Pernahkah anda mengamati suatu termometer, bilangan apa sajakah yang
terdapat pada skala termometer itu?
Untuk itu modul ini akan membahas tentang berbagai macam bilangan, operasi bilangan yaitu prosedur-prosedur tertentu yang mengambil satu atau lebih
bilangan sebagai masukan dan menghasilkan bilangan lain sebagai keluran, dan sistem bilangan merupakan penerapan berbagai metode aksiomatik dari logika
atas himpunan bilangan, relasi dan operasi yang berlaku pada himpunan bilangan itu, serta penggunaan bilangan dalam masalah aritmetika sosial.
2. Sistem Bilangan Asli
a. Pengertian Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan kardinal dari himpunan berhingga yang tidak kosong. Bilangan kardinal adalah banyaknya anggota suatu himpunan.
Banyaknya anggota himpunan menyatakan suatu hasil membilang. Oleh karena menyatakan suatu hasil membilang, hal ini tidak mungkin bernilai
negatif tetapi mungkin saja bernilai nol. Sehingga disyaratkan bilangan kardinal yang tidak kosong nol. Dari pengertian tersebut, yang dimaksud
bilangan-bilangan asli adalah: 1, 2, 3, 4, 5, .... Himpunan yang beranggotakan semua bilangan asli disebut dengan
himpunan bilangan asli yang dilambangkan dengan N.
17
Matematika SMP KK A
Jadi N=
{ }
.... ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 atau N =
{ }
asli bilangan
x x
. Andaikan suatu himpunan H mempunyai p anggota maka dikatakan bilangan kardinal dari
himpunan H adalah p, ditulis nH = p, p disini merupakan bilangan asli, dengan syarat H tidak kosong.
b. Operasi Pada Bilangan Asli 1 Operasi Penjumlahan
Definisi:“Jika p dan q bilangan-bilangan asli, H dan G himpunan-himpunan dengan p = nH, q = nG dan
∅ =
∩G H
, maka p + q = G
H n
∪ .
Sebagai contoh jika H ={1,2,3} dan G = {7,8,9} diperoleh p = nH = 4 dan q = nG = 3 serta
� ∩ � = ∅, � ∪ � = {1,2,3,4,7,8,9}sehingga 3 + 4 = �� ∪ �= 7.
Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan asli adalah sebagai berikut. a
tertutup, yaitu jika p adalah bilangan asli dan q adalah bilangan asli maka p + q juga merupakan bilangan asli.
b komutatif, yaitu Jika p adalah bilangan asli dan q adalah bilangan
asli maka p + q = q + p c
asosiatif, yaitu Jika p, q, dan r adalah bilangan asli maka p + q + r = p + q + r
d Untuk setiap bilangan asli p, q dan r, jika p + r = q + r maka p = q
2 Operasi Pengurangan
Definisi: “Jika p dan q bilangan-bilangan asli, H dan G himpunan- himpunan dengan
H G
⊂
, p = nH dan q = nG maka p – q = nH - G.” Definisi tersebut menyatakan jika p bilangan asli dan q bilangan asli maka
p – q dapat dioperasikan apabila p = nH dan q = nG dengan H dan G suatu himpunan dengan syarat G himpunan bagian dari H. Dalam hal G
bukan subset dari H maka operasi penguarangan pada bilangan asli tidak dapat dilakukan. Contoh :Suatu himpunan H = {4,5,6,7,8,9} dan
G = {2,3,4,5}, sehingga p = nH = 6 dan q = nG = 4. Perhatikan bahwa G bukan subset dari H, karena ada anggota G yang tidak termasuk pada H.
