Persamaan Parabola URAIAN MATERI
Kegiatan Pembelajaran 8
98
Diberikan titik tertentu dan garis
tertentu . Ellips adalah tempat
kedudukan titik-titik yang memenuhi
syarat perbandingan jaraknya ke titik dan jaraknya ke garis
tetap, kurang dari 1, yaitu
. Gambar 105. Definisi ellips
Dengan menggambar tegak lurus terhadap , terdapat titik pada
sedemikian sehingga , dan terdapat titik pada dengan .
Maka dan pada ellips. Misalkan , dan titik titik tengah , maka
. Akan ditentukan dan dalam suku-suku dan . Karena , dan
, diperoleh .
Akan tetapi – , dan . Maka
; di mana . Diperoleh juga,
– – ; yaitu – ; di mana
.
Gambar 106. Ellips dengan pusat Dengan mengambil titik asal di
, sumbu- tegak lurus terhadap direktriks, sumbu- sejajar dengan direktriks, misalkan titik sebarang titik pada ellips. Maka
persamaan ellips diperoleh dari kondisi
Karena , maka
. Karena
, maka . Dengan
demikian, atau
.
Modul Matematika SMA
99
Persamaan ellips ini dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan membagi kedua ruas
dengan
2 2
, dan kemudian menuliskan
2 2
2
, diperoleh
Persamaan ini merupakan persamaan umum ellips yang berpusat di
. Gambar 107. Unsur-unsur ellips
Setelah diperoleh persamaan ellips, berikut akan dibahas unsur-unsur ellips. Ruas garis
dan berturut-turut disebut sumbu utama major axes dan sumbu minor dari ellips. Titik ujung sumbu utama
dan dan titik ujung sumbu minor dan
disebut titik puncak ellips vertex, titik disebut pusat ellips, ruas garis dan
, atau dan disebut setengah sumbu ellips semiaxes. Eksentrisitas ellips
berhubungan dengan dan dan diberikan oleh persamaan
2 2
2
. Jika
Dengan demikian, jarak dari fokus ke pusat adalah
. Fokus ellips
adalah di dan , di mana juga dapat diperoleh dari
. Titik puncak ellips ini adalah
, , , dan . Garis dan merupakan direktriks ellips. Garis ini berjarak
dari pusat ellips sehingga
direktriksnya adalah garis . Karena
maka direktriks ellips dapat ditulis sebagai
. Perbandingan
yang disebut eksentrisitas eccentricity ellips ini menentukan bentuk ellips. Jika eksentrisitasnya besar, maka ellips lebih panjang. Semakin kecil
nilai eksentrisitas, ellips akan semakin bulat. Jika eksentrisitas 0, akan diperoleh lingkaran.
Kegiatan Pembelajaran 8
100
Ellips mempunyai dua latus rectum. Panjang kedua latus rectum ellips adalah panjang ruas garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui fokus, yaitu
ruas garis yang terletak pada garis . Dengan mensubstitusikan nilai
ini ke persamaan ellips diperoleh ordinat titik potong latus rectum dan ellips . Jadi panjang latus rectum adalah
. Contoh:
Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips .
Dalam persamaan ini, dan
sehingga dan , karena dan
. Jadi titik puncaknya , , dan . Nilai adalah .
Jadi fokus ellips di dan
. Jika sumbu utama ellips adalah sumbu-
maka fokus terletak pada sumbu- , sehingga persamaan ellips menjadi
, dengan .
Dari persamaan ini diperoleh ellips berpusat di ,
fokusnya
di dan
, dan puncaknya di titik , , dan .
Contoh: 1.
Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips .
Jawab: Persamaan
dapat ditulis sebagai . Jadi
dan . Sumbu utamanya adalah sumbu-
. Titik puncaknya adalah
, ,
, dan .
Nilai diperoleh dari
Sehingga fokusnya adalah dan
.
Modul Matematika SMA
101
2. Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu
puncaknya di .
Jawab
:
Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di
, maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah:
Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik
dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis
dan sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah
. Misal dilakukan translasi sumbu
dan ,
dengan memindahkan titik asal ke titik
, yang bersesuaian dengan titik
jika titik asalnya adalah
. Jika ditulis menjadi
dan menjadi
, maka persamaan ellips yang bersesuaian dengan sumbu-
dan sumbu- adalah
Contoh: Tuliskan karakteristik ellips dengan persamaan
. Jawab:
Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di ,
, dan . Panjang sumbu
Gambar 108. Ellips berpusat di