Persamaan Parabola URAIAN MATERI

Kegiatan Pembelajaran 8 98 Diberikan titik tertentu dan garis tertentu . Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik dan jaraknya ke garis tetap, kurang dari 1, yaitu . Gambar 105. Definisi ellips Dengan menggambar tegak lurus terhadap , terdapat titik pada sedemikian sehingga , dan terdapat titik pada dengan . Maka dan pada ellips. Misalkan , dan titik titik tengah , maka . Akan ditentukan dan dalam suku-suku dan . Karena , dan , diperoleh . Akan tetapi – , dan . Maka ; di mana . Diperoleh juga, – – ; yaitu – ; di mana . Gambar 106. Ellips dengan pusat Dengan mengambil titik asal di , sumbu- tegak lurus terhadap direktriks, sumbu- sejajar dengan direktriks, misalkan titik sebarang titik pada ellips. Maka persamaan ellips diperoleh dari kondisi Karena , maka . Karena , maka . Dengan demikian, atau . Modul Matematika SMA 99 Persamaan ellips ini dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan membagi kedua ruas dengan 2 2 , dan kemudian menuliskan 2 2 2 , diperoleh Persamaan ini merupakan persamaan umum ellips yang berpusat di . Gambar 107. Unsur-unsur ellips Setelah diperoleh persamaan ellips, berikut akan dibahas unsur-unsur ellips. Ruas garis dan berturut-turut disebut sumbu utama major axes dan sumbu minor dari ellips. Titik ujung sumbu utama dan dan titik ujung sumbu minor dan disebut titik puncak ellips vertex, titik disebut pusat ellips, ruas garis dan , atau dan disebut setengah sumbu ellips semiaxes. Eksentrisitas ellips berhubungan dengan dan dan diberikan oleh persamaan 2 2 2 . Jika Dengan demikian, jarak dari fokus ke pusat adalah . Fokus ellips adalah di dan , di mana juga dapat diperoleh dari . Titik puncak ellips ini adalah , , , dan . Garis dan merupakan direktriks ellips. Garis ini berjarak dari pusat ellips sehingga direktriksnya adalah garis . Karena maka direktriks ellips dapat ditulis sebagai . Perbandingan yang disebut eksentrisitas eccentricity ellips ini menentukan bentuk ellips. Jika eksentrisitasnya besar, maka ellips lebih panjang. Semakin kecil nilai eksentrisitas, ellips akan semakin bulat. Jika eksentrisitas 0, akan diperoleh lingkaran. Kegiatan Pembelajaran 8 100 Ellips mempunyai dua latus rectum. Panjang kedua latus rectum ellips adalah panjang ruas garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui fokus, yaitu ruas garis yang terletak pada garis . Dengan mensubstitusikan nilai ini ke persamaan ellips diperoleh ordinat titik potong latus rectum dan ellips . Jadi panjang latus rectum adalah . Contoh: Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips . Dalam persamaan ini, dan sehingga dan , karena dan . Jadi titik puncaknya , , dan . Nilai adalah . Jadi fokus ellips di dan . Jika sumbu utama ellips adalah sumbu- maka fokus terletak pada sumbu- , sehingga persamaan ellips menjadi , dengan . Dari persamaan ini diperoleh ellips berpusat di , fokusnya di dan , dan puncaknya di titik , , dan . Contoh: 1. Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips . Jawab: Persamaan dapat ditulis sebagai . Jadi dan . Sumbu utamanya adalah sumbu- . Titik puncaknya adalah , , , dan . Nilai diperoleh dari Sehingga fokusnya adalah dan . Modul Matematika SMA 101 2. Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di . Jawab : Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di , maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah: Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis dan sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah . Misal dilakukan translasi sumbu dan , dengan memindahkan titik asal ke titik , yang bersesuaian dengan titik jika titik asalnya adalah . Jika ditulis menjadi dan menjadi , maka persamaan ellips yang bersesuaian dengan sumbu- dan sumbu- adalah Contoh: Tuliskan karakteristik ellips dengan persamaan . Jawab: Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di , , dan . Panjang sumbu Gambar 108. Ellips berpusat di