Modul Matematika SMA
117
dalam persamaan yang dipilih sehingga akan diperoleh suatu sistem persamaan linear dengan variabel ketiga konstanta tersebut. Dengan menyelesaikan sistem
persamaan linear ini akan diperoleh persamaan lingkaran yang dicari. Contoh:
Akan ditentukan persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik , , dan
. Koordinat ketiga titik pastilah memenuhi dengan
, , dan akan dicari. Dengan demikian,
. Diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel
–
Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, diperoleh ,
, dan , sehingga persamaan lingkaran yang dicari adalah
. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik yang diberikan dapat dipandang sebagai
tempat kedudukan titik-titik keempat yang terletak pada lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut. Dengan demikian, persamaan lingkaran ini memenuhi atau
dapat ditentukan oleh persamaan yang terdapat dalam determinan matriks berikut.
.
2. Garis Singgung Lingkaran
Setelah pembahasan tentang persamaan lingkaran, berikut akan diuraikan tentang garis singgung lingkaran. Ingat kembali bahwa kedudukan atau relasi antara garis
dan lingkaran dapat berupa : garis saling asing dengan lingkaran, garis menyinggung lingkaran, dan garis memotong lingkaran. Garis singgung lingkaran ada tiga macam,
Kegiatan Pembelajaran 9
118
yaitu garis singgung yang gradiennya diketahui, garis singgung lingkaran di suatu
titik, dan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik di luar lingkaran.
Berikut akan dicari persamaan garis singgung lingkaran yang
bergradien . Misalkan garis merupakan garis bergradien yang
dicari. Masalah ini menjadi menentukan nilai sedemikian sehingga garis
merupakan garis singgung ke lingkaran . Titik potong garis
dan lingkaran dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan dari kedua persamaan garis dan lingkaran. Dengan mensubstitusikan persamaan garis ke
persamaan lingkaran, diperoleh atau
. Kedua akar dari persamaan kuadrat dalam
merupakan absis dari titik potong garis dan lingkaran. Agar garis menyinggung lingkaran, kedua titik ini haruslah
berimpit sehingga keduanya mempunyai absis yang sama. Dengan demikian, kedua akar persamaan kuadrat ini haruslah sama. Syarat agar kedua akar sama adalah
nilai diskriminannya 0. Oleh karena itu diperoleh ,
di mana .
Jadi persamaan garis singgung bergradien yang dicari adalah
. Jika lingkaran berpusat di titik
, dengan cara yang sama persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien
adalah .
Contoh: Carilah persamaan garis singgung lingkaran
yang membentuk sudut
dengan sumbu- positif. Jawab:
Modul Matematika SMA
119
Persamaan lingkaran
dapat dituliskan
menjadi .
Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien adalah
atau dan .
Untuk sembarang titik pada lingkaran, terdapat suatu garis yang hanya bersekutu dengan titik tersebut. Garis ini merupakan garis singgung lingkaran. Berikut akan
dicari persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik
pada lingkaran. Pusat lingkaran berada di titik asal .
Kemiringan atau gradien jari-jari yang melalui , yaitu garis
adalah . Garis
ini disebut normal di titik
. Karena garis singgung di
tegak lurus terhadap , maka
kemiringan garis singgung di adalah
. Dengan demikian, persamaan garis singgung di
adalah
atau
Karena titik pada lingkaran, maka berlaku
. Jadi persamaan garis singgung yang dicari adalah
Terlihat bahwa persamaan garis singgung diperoleh dari persamaan lingkaran dengan mengganti suku
dengan dan mengganti
dengan .
Jika persamaan lingkaran berbentuk , maka persamaan
garis singgung diperoleh dengan mengganti suku dengan
dan mengganti dengan
, dengan , dan dengan
. Aturan ini dinamakan
aturan bagi adil atau aturan Joachimsthal.
Gambar 114. Garis singgung lingkaran di titik
Kegiatan Pembelajaran 9
120
Jadi persamaan garis singgung lingkaran di titik
adalah . Dengan cara yang
sama, persamaan garis singgung lingkaran di titik
adalah .
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan normal dari lingkaran
di titik .
Jawab: Karena
, maka titik terletak pada lingkaran. Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik ini adalah
. Karena normal melalui titik
dan tegak lurus terhadap garis singgung, maka persamaan normalnya adalah
atau . Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dilukis dua garis singgung lingkaran. Akan
ditentukan persamaan garis singgung yang ditarik dari titik terhadap
lingkaran . Misalkan titik singgungnya adalah
. Maka persamaan garis singgung di
adalah . Garis singgung ini melalui
titik , sehingga
1 Titik
pada lingkaran sehingga 2
Dari 1 dan 2 dapat ditentukan dan
. Akan diperoleh dua pasang nilai dan
yang mana merupakan titik singgung garis dengan lingkaran. Karena dan
pada lingkaran, maka garis singgung yang dicari dapat ditentukan dengan cara yang sama mencari garis singgung di titik pada lingkaran.
Contoh: Dari titik
ditarik garis singgung lingkaran . Tentukan
persamaan garis singgung ini.
Modul Matematika SMA
121
Jawab: Misalkan titik singgungnya di
. Maka garis singgung di titik adalah
Garis singgung ini melalui titik , sehingga diperoleh persamaan
i Titik
pada lingkaran, sehingga berlaku ii
Dari i dan ii, diperoleh
. Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ini diperoleh
dan .
Diperoleh dua titik singgung, dan
. Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui
adalah – dan .
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
Untuk memperdalam materi ini, Anda dapat mencari soal-soal yang lebih variatif di referensibuku-buku yang lain. Untuk mengembangkan pengetahuan, kerjakanlah
aktivitas berikut. 1.
Misalkan akan dicari garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik. Langkah mencari dan bagaimana persamaan garis singgung ditentukan oleh
apakah titik tersebut di dalam, pada, atau di luar lingkaran. Bagaimana cara Anda mengetahui apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di luar lingkaran,
atau di dalam lingkaran ? 2.
Bagaimana cara Anda mengetahui jika diberikan sembarang tiga titik apakah dapat dilukis suatu lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut?
3. Dalam uraian materi telah diketahui bahwa terdapat satu garis singgung
lingkaran di suatu titik pada lingkaran dan dapat dilukis dua garis singgung
