Kegiatan Pembelajaran 8
106
d. Asimptot
x y
3 4
dan
x y
3 4
e. Fokus
1
dan
2
. Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik
dan sumbu nyatanya sejajar dengan sumbu-
analog dengan ellips adalah
Hiperbola ini mempunyai sifat : Pusat hiperbola :
. Puncak hiperbola :
1
dan
2
– . Fokus hiperbola :
1
dan
2
– . Asimptot
: h
x a
b k
y
dan h
x a
b k
y
Jika sumbu nyata sejajar dengan sumbu-
, menyatakan panjang setengah sumbu nyata hiperbola, dan persamaannya adalah
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
Untuk pengembangan dan menambah wawasan tentang materi ini, Anda dapat mengerjakan aktivitas berikut.
1. Dari mana munculnya definisi ellips, parabola, dan hiperbola? Bagaimana
kerucut diiris oleh bidang sehingga menghasilkan kurva-kurva tersebut? Proses kerucut diiris bidang sehingga menghasilkan definisi kurva tersebut
dapat dijelaskan dengan menggunakan bola Dandelin. Carilah referensi tentang Bola Dandelin. Buatlah ringkasan tentang proses mendapatkan kerucut diiris
sehingga menghasilkan definisi parabola, hiperbola dan ellips. 2.
Carilah aplikasi parabola pada permasalahan nyata, misalnya pada alat-alat seperti antenna parabola. Carilah penjelasan tentang sifat parabola yang
diaplikasikan pada peralatan tersebut.
Modul Matematika SMA
107
3. Bandingkan persamaan yang Anda peroleh pada aktivitas 1 di atas dengan
persamaan parabola yang dipelajari di SMP, yaitu . Apa
hubungan kedua persamaan parabola tersebut ? 4.
Bumi mengelilingi matahari menurut lintasan yang berbentuk ellips, di mana matahari berada di salah satu fokusnya ditemukan oleh Keppler pada tahun
1610. Nilai dari eksentrisitas orbit bumi adalah . Carilah referensi
tentang jarak terjauh dan jarak terdekat bumi ke matahari aphelium dan perihelium. Selanjutnya susunlah persamaan orbit bumi.
5. Persamaan ellips juga dapat diturunkan dari definisi tempat kedudukan titik-
titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap. Tunjukkan bahwa persamaan ellips yang berpusat di
dan jumlah jaraknya ke dua titik tertentu, yaitu titik
dan adalah
dengan mengikuti langkah-langkah berikut. Misalkan jumlah jarak yang tetap tersebut
. a.
Ambil sembarang titik pada ellips. b.
Jumlah jarak ke dan tetap sebesar , maka memenuhi . Dengan menggunakan jarak rumus jarak antara dua titik dan
pengkuadratan sebanyak dua kali, jabarkan dan sederhanakan persamaan
yang diperoleh. c.
Setelah diperoleh persamaan yang memuat , tuliskan
. d.
Sederhanakan sampai diperoleh persamaan .
6. Hiperbola yang paling sederhana, yaitu
adalah hiperbola siku. Jika dibandingkan dengan hiperbola yang sudah dibahas, hiperbola ini
diperoleh dengan memutar sebesar 45° terhadap titik asal. Selidikilah sifat-sifat hiperbola ini.
7. Sebelum ditemukannya sistim GPS, untuk
menentukan posisi kapal di laut digunakan sistem LORAN. Sistem ini melibatkan kurva-kurva hiperbola. Carilah referensi tentang
bagaimana prinsip kerja sistem ini.
Kegiatan Pembelajaran 8
108
E. LATIHANKASUSTUGAS
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1.
Pada kerucut yang diiris oleh bidang, apa hubungan antara hiperbola dan dua garis berpotongan ?
2. Apakah mungkin eksentrisitas bernilai negatif ? Jelaskan.
3. Tentukan fokus, persamaan direktriks, dan latus rectum dari parabola berikut.
a.
2
. b.
2
. c.
2
d.
2
4. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik asal dan sumbunya
adalah salah satu sumbu koordinat, dan memenuhi kondisi yang diberikan. a.
Ruas garis yang kedua titik ujungnya dan merupakan salah satu tali busurnya.
b. Ruas garis yang kedua titik ujungnya dan merupakan salah
satu tali busurnya. c.
Fokusnya d.
Fokusnya terletak pada garis . 5.
Tentukan persamaan parabola yang memenuhi kondisi berikut. a.
Direktriksnya garis dan fokusnya titik . b.
Direktriksnya garis dan fokusnya titik . 6.
Tentukan puncak, fokus, dan direktriks dari parabola berikut. a.
. b.
2
. c.
2
. d.
. 7.
Tunjukkan bahwa puncak kedua parabola dan
sama, dan tentukan titik perpotongan kedua parabola. 8.
Suatu antenna penerima berbentuk parabola dengan lebar penampang m dan kedalaman
m. Di manakah penerima sinyal harus ditempatkan agar penerimaan optimal ?
Modul Matematika SMA
109
9. Tentukan fokus, direktriks, dan panjang latus rectum ellips berikut.
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
10. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya adalah sumbu koordinat
dan memenuhi kondisi berikut: a.
Fokus ; puncaknya
.
b. Fokus
; direktriks
.
c. Panjang sumbu minor 6; fokus
.
d. Puncak
; eksentrisitas
.
11. Tentukan pusat, eksentrisitas, dan fokusnya.
a.
.
b.
.
c.
.
12. Tentukan persamaan ellips yang sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu
kordinat dan memenuhi kondisi berikut. a.
Berpusat di , eksentrisitas
, sumbu utama sejajar sumbu- dan
panjangnya 12.
b. Fokus di
dan , dan panjang sumbu utama dua kali
panjang sumbu minor.
c. Berpusat di
dan melalui titik dan
13. Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang latus rectum, dan direktriks dari
hiperbola-hiperbola berikut. a.
. b.
. 14.
Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu-sumbunya sepanjang sumbu koordinat dan memenuhi kondisi berikut.
a. Salah satu titik puncaknya dan fokusnya .
b. Salah satu titik puncaknya dan eksentrisitasnya 2.
Kegiatan Pembelajaran 8
110
c. Salah satu asimptotnya , dan fokusnya .
15. Tentukan eksentrisitas, fokus, dan titik puncaknya.
a. .
b. .
F. RANGKUMAN
Irisan kerucut merupakan irisan antara kerucut ganda dan bidang. Jenis irisan kerucut ditentukan oleh sudut antara garis pelukis kerucut dan sudut antara bidang
dengan sumbu kerucut. Irisan kerucut juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang
perbandingan jaraknya ke suatu titik tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu tetap. Bilangan perbandingan ini dinamakah eksentrisitas
. a.
Jika , irisan kerucut berupa parabola.
b.
Jika , irisan kerucut berupa ellips.
c.
Jika , irisan kerucut berupa hiperbola.
Definisi lain : a.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
b. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik
tertentu dan jaraknya ke suatu garis tertentu sama. c.
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tertentu tetap.
d. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua
titik tertentu tetap. Persamaan parabola yang puncaknya di
dan sumbunya pada sumbu- adalah
dan .
Persamaan parabola yang puncaknya di dan sumbunya pada sumbu-
adalah dan
. Persamaan parabola yang puncaknya di
dan sumbunya sejajar sumbu- adalah
dan .
