Modul Matematika SMA
101
2. Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu
puncaknya di .
Jawab
:
Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di
, maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah:
Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik
dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis
dan sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah
. Misal dilakukan translasi sumbu
dan ,
dengan memindahkan titik asal ke titik
, yang bersesuaian dengan titik
jika titik asalnya adalah
. Jika ditulis menjadi
dan menjadi
, maka persamaan ellips yang bersesuaian dengan sumbu-
dan sumbu- adalah
Contoh: Tuliskan karakteristik ellips dengan persamaan
. Jawab:
Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di ,
, dan . Panjang sumbu
Gambar 108. Ellips berpusat di
Kegiatan Pembelajaran 8
102
utama adalah 10 dan panjang sumbu minornya adalah 6. Sumbu mayor garis , sedangkan sumbu minor garis
. Ellips berpuncak di titik ,
, , dan
.
4. Persamaan Hiperbola
Seperti halnya parabola, dan ellips, hiperbola juga memiliki banyak aplikasi di kehidupan. Salah satunya adalah menara pendingin pada PLTN penampangnya
berbentuk hiperbola. Pada Kegiatan Belajar ini akan dipelajari tentang persamaan hiperbola.
Salah satu definisi hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola
menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu dan garis tertentu . Hiperbola
adalah tempat kedudukan titik-titik yang bergerak sedemikian sehingga
perbandingan jaraknya dari dan konstan lebih besar dari 1, yaitu .
Lukis tegak lurus dengan . Maka
pada terdapat titik sedemikian
sehingga , dan titik
sedemikian sehingga , yaitu,
dan . Maka, menurut definisi,
dan berada pada hiperbola.
Gambar 109 Definisi Hiperbola Misalkan
dan titik tengah , sehingga . dan akan dinyatakan dalam
dan . Karena – – , yaitu, – , diperoleh
. Selain itu,
sehingga . Selanjutnya akan ditentukan persamaan hiperbola. Dengan mengambil titik asal
, sumbu-
tegak lurus dengan direktriks dan sumbu- sejajar dengan direktriks, misalkan
sembarang titik pada hiperbola. Persamaan hiperbola dapat ditentukan dari syarat
Modul Matematika SMA
103
Karena , maka
. Karena – – ,
maka – – .
Dengan demikian, ; sehingga
, atau Dengan mengambil bilangan positif
, diperoleh .
Persamaan di atas sering ditulis juga sebagai .
Dari langkah-langkah di atas diperoleh unsur-unsur dan karakteristik hiperbola sebagai berikut :
a. Misal dinotasikan , dari
diperoleh .
b. Garis dan garis merupakan direktriks dari hiperbola. Kedua garis ini
berjarak dari titik O. Jadi direktriks hiperbola adalah garis dengan persamaan
. c.
Karena , maka persamaan direktriks dapat ditulis sebagai .
d. Titik atau merupakan fokus dari hiperbola. Hiperbola juga akan
terbentuk jika didefinisikan dari fokus ke dua dan direktriks ke dua . Jadi
fokus hiperbola tersebut adalah dan .
e. Ruas garis disebut sumbu nyata. Walaupun kurva tidak memotong sumbu-
, dapat ditempatkan , dan , garis atau sumbu- disebut sumbu sekawan conjugate axis.
f. Jelas bahwa dan , dan simetris terhadap sumbu sekawan, yaitu
sumbu- .
g. Titik dan disebut titik puncak vertexvertices, yaitu perpotongan antara
sumbu nyata dengan hiperbola. Koordinat titik puncak hiperbola adalah dan
.
Kegiatan Pembelajaran 8
104
h. Titik O dinamakan pusat hiperbola, yaitu perpotongan antara sumbu nyata dan
sumbu sekawan. i.
Latus rectum hiperbola , ruas garis diperoleh dari mengalikan 2
ordinat positif dari fokusnya, yaitu dengan mengalikan 2 ordinat yang bersesuaian dengan
. Diperoleh panjang latus rectum adalah .
j. Ruas kanan persamaan
atau tidak pernah
bernilai 0 sehingga dan
. Jadi sembarang titik pada hiperbola tidak pernah terletak pada garis
atau dan garis
atau . Kedua garis ini dinamakan asimptot hiperbola.
Contoh: Diberikan hiperbola
. Tentukan karakteristik hiperbola ini. Jawab:
Dari persamaan diperoleh atau dan
atau sehingga . Karakteristiknya adalah:
a. Berpusat di .
b. Fokus di titik
dan . c.
Sumbu utama adalah sumbu- dengan panjang 6. d.
Sumbu sekawan adalah sumbu- dengan panjang 8. e.
Titik puncaknya di dan . f.
Panjang latus rectum .
x
1
2 2
2 2
b y
a x
y
x a
b y
x a
b y
F’-c,0 Fc,0
A’-a,0 Aa,0
b,0
-b,0 B
B’ O
C C’
Gambar 110. Unsur-unsur hiperbola
Modul Matematika SMA
105
g. Direktriks garis
dan .
h. Eksentrisitas
. Jika sumbu-
merupakan sumbu nyata, maka fokusnya terletak di sepanjang sumbu nyata ini, variabel
dan bertukar posisi dalam persamaan, sehingga diperoleh
di mana menyatakan sumbu nyata , dan merupakan panjang sumbu
sekawan .
Dengan cara yang sama untuk hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu- ,
diperoleh juga beberapa rumus berikut. a.
. b.
. c.
. d.
.
Gambar 111 Hiperbola dengan sumbu nyata sumbu-
Contoh: Diberikan hiperbola dengan persamaan
tentukan puncak, fokus, asimptot dan buatlah sketsanya.
Jawab: Persamaan hiperbola
dapat ditulis menjadi .
Dari persamaan terakhir diperoleh , sehingga
dan memiliki karakteristik sebagai berikut. a.
Berpusat di . b.
Hiperbola membuka ke atas dan ke bawah. c.
Puncak
1
dan
2
.
Kegiatan Pembelajaran 8
106
d. Asimptot
x y
3 4
dan
x y
3 4
e. Fokus
1
dan
2
. Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik
dan sumbu nyatanya sejajar dengan sumbu-
analog dengan ellips adalah
Hiperbola ini mempunyai sifat : Pusat hiperbola :
. Puncak hiperbola :
1
dan
2
– . Fokus hiperbola :
1
dan
2
– . Asimptot
: h
x a
b k
y
dan h
x a
b k
y
Jika sumbu nyata sejajar dengan sumbu-
, menyatakan panjang setengah sumbu nyata hiperbola, dan persamaannya adalah
D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN
Untuk pengembangan dan menambah wawasan tentang materi ini, Anda dapat mengerjakan aktivitas berikut.
1. Dari mana munculnya definisi ellips, parabola, dan hiperbola? Bagaimana
kerucut diiris oleh bidang sehingga menghasilkan kurva-kurva tersebut? Proses kerucut diiris bidang sehingga menghasilkan definisi kurva tersebut
dapat dijelaskan dengan menggunakan bola Dandelin. Carilah referensi tentang Bola Dandelin. Buatlah ringkasan tentang proses mendapatkan kerucut diiris
sehingga menghasilkan definisi parabola, hiperbola dan ellips. 2.
Carilah aplikasi parabola pada permasalahan nyata, misalnya pada alat-alat seperti antenna parabola. Carilah penjelasan tentang sifat parabola yang
diaplikasikan pada peralatan tersebut.
