Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
180
Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.
1. Penjumlahan f dan g berlaku f + gx = fx + gx
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui fx = x + 2 dan gx = x
2
– 4. Tentukan f + gx.
Penyelesaian
f + gx = fx + gx = x + 2 + x
2
– 4 = x
2
+ x – 2
2. Pengurangan f dan g berlaku f – gx = fx – gx
Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui fx = x
2
– 3x dan gx = 2x + 1. Tentukan f – gx. b. fx = x
2
+ 2x – 3 c. fx = | x + 2 |
3. Selidiki fungsi berikut termasuk fungsi ganjil, genap, atau bukan keduanya. a. fx = x
2
– 3 b. fx = 2 sin x + cos x
c. fx = 3x
5
– 2x
3
4. Tentukan daerah asal dan range fungsi berikut bila x ∈ B dan B = {x | –3 x ≤ 2}.
a. fx = 2x – 1 b. fx = x
2
+ 3 c. fx = 4
d. fx = | x + 1 | 5. Diketahui fungsi A = {1, 2, 3, 4} ke B = {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasangan
berurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif? a. f = {1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6}
b. f = {1, 5, 2, 6, 3, 6, 4, 5} c. f = {1, 6, 2, 7, 3, 5, 4, 5}
d. f = {1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 7}
B Aljabar Fungsi
181
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Penyelesaian
f – gx = fx – gx = x
2
– 3x – 2x + 1 = x
2
– 3x – 2x – 1 = x
2
– 5x – 1
3. Perkalian f dan g berlaku f
⋅
gx = fx
⋅
gx
Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut.
Contoh soal
Diketahui fx = x – 5 dan gx = x
2
+ x. Tentukan f × gx.
Penyelesaian
f × gx = fx ⋅
gx = x – 5x
2
+ x = x
3
+ x
2
– 5x
2
– 5x = x
3
– 4x
2
– 5x
4. Pembagian f dan g berlaku
x g
f
=
x g
x f
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui fx = x
2
– 4 dan gx = x + 2. Tentukan
f
x g
.
Penyelesaian
f
x g
= f x
g x =
2
4 2
x x
− +
= 2
2 2
x x
x −
+ +
= x – 2
1. Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan
Jika diketahui A = {a
1
, a
2
, a
3
}, B = {b
1
, b
2
, b
3
, b
4
}, dan C = {c
1
, c
2
, c
3
}, maka fungsi f : A
→ B dan g : B → C didefinisikan seperti diagram berikut.
C Fungsi Komposisi
B
c
1
c
2
c
3
C g
b
1
b
2
b
3
b
4
gb
1
= c
2
gb
2
= c
1
gb
3
= c
3
A a
1
a
2
a
3
B f
b
1
b
2
b
3
b
4
fa
1
= b
2
fa
2
= b
1
fa
3
= b
3
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
182
Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.
Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.
Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g f dibaca “fungsi g bundaran f”. g f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan
lebih dahulu daripada g. Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis:
g fx = gfx f gx = fgx
Sedangkan, untuk f g dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.
A
a
1
a
2
a
3
B f
b
1
b
2
b
3
b
4
C
c
1
c
2
c
3
g
A
fx x
gfx
B C
g
f
A
gx
x fgx
B C
f g
fa
1
= b
2
dan gb
2
= c
2
sehingga g f a
1
= c
2
gb
2
= c
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g f a
2
= c
1
gb
3
= c
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g f a
3
= c
3
g f a
1
= c
2
g f a
2
= c
1
g f a
3
= c
3
a
1
a
2
a
3
f
c
1
c
2
c
3
g g f
A C
183
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Diketahui fx = 2x – 1, gx = x
2
+ 2. a.
Tentukan g fx. b.
Tentukan f gx. c.
Apakah berlaku sifat komutatif: g f = f g?
Penyelesaian
a. g fx = gfx
= g2x – 1 = 2x – 1
2
+ 2 = 4x
2
– 4x + 1 + 2 = 4x
2
– 4x + 3 b.
f gx = fgx = fx
2
+ 2 = 2x
2
+ 2 – 1 = 4x
2
+ 4 – 1 = 4x
2
+ 3 c.
Tidak berlaku sifat komutatif karena g f ≠ f g.
2. Diketahui fx = x
2
, gx = x – 3, dan hx = 5x. a.
Tentukan f g hx. b.
Tentukan f g hx. c.
Apakah f g h = f g h, mengapa?
Penyelesaian
a. f g hx = ….
Misal px = g hx
= ghx
= g5x
= 5x – 3
Buatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsi berikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas.
Bila f, g, dan h suatu fungsi, maka: a.
tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f g ≠ g f;
b. jika I fungsi identitas berlaku : I f = f I = f;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f g h = f g h.
