Pembuktian Teorema Sisa 1 Pembuktian teorema sisa 1
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
164
d. Dari 1:
x
1
+ x
2
+ x
3
=
− 2
b
x
1
+ –x
1
+ x
3
=
− 2
b
x
3
=
− 2
b
Dari 3 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –18 untuk x
1
= 3, maka x
2
= –3
→
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
= –18 3
⋅ –3
⋅ x
3
= –18 –9x
3
= –18 x
1
+ x
2
+ x
3
=
− 2
b
x
3
= 2 3 + –3 + 2 =
− 2
b
2 =
− 2
b
4 = –b
⇒ b = –4
Untuk x
1
= –3, maka x
2
= 3 → x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –18 –3
⋅
3
⋅
x
3
= –18 –9
⋅ x
3
= 18 x
3
= –2 , maka b = 4 e.
x
1
= 3, x
2
= –3, dan x
3
= 2 untuk b = –4 atau x
1
= –3 , x
2
= 3, dan x
3
= –2 untuk b = 4 Dari 2:
x
1
–x
1
+ –x
1
x
3
+ x
1
x
3
= –9 –x
1 2
– x
1
x
3
+ x
1
x
3
= –9 –x
1 2
= –9 x
1 2
= 9 x
1 2
= 9 → x
1
= 3 atau x
1
= –3
5.6
Kerjakan soal-soal di bawah ini
1. Tentukan faktor dari: a. x
3
+ x
2
– 2 = 0 b. 2x
3
– x
2
– 5x – 2 = 0 c. 2x
3
– 11x
2
+ 17x – 6 = 0 2. Tentukan faktor dari suku banyak berikut.
a. 8x
3
– 6x
2
– 59x + 15 = 0 b. 2x
3
– 5x
2
– 28x + 15 = 0 c. 2x
3
– 7x
2
– 17x + 10 = 0
165
Suku Banyak
3. Tentukanlah akar-akar dari: a. x
3
+ 4x
2
+ x – 6 = 0 b. x
3
– 6x
2
+ 11x – 6 = 0 c. 2x
3
+ 3x
2
– 8x + 3 = 0 4. Selesaikan
a. Jika akar-akar persamaan px
3
– 14x
2
+ 17x – 6 = 0 adalah x
1
, x
2
, x
3
untuk x
1
= 3, tentukan x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
. b. Jika persamaan x
3
– x
2
– 32x + p = 0 memiliki sebuah akar x = 2, tentukan akar-akar yang lain.
c. Jika –4 merupakan salah satu akar dari persamaan x
3
+ 2x
2
– 11x + a = 0, tentukan nilai a.
d. Tentukan akar-akar dari x
3
+ 2x
2
– 5x – 6 = 0.
1. Pembagian suku banyak
a. Pengertian suku banyak.
Suatu suku banyak berderajat n dinyatakan dengan: a
n
x
n
+ a
n – 1
x
n – 1
+ a
n – 2
x
n – 2
+ …. + a
1
x + a .
b. Nilai suku banyak
Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara. 1
Cara substitusi 2
Cara skema Horner 2.
Menentukan derajat suku banyak hasil bagi dan sisa pembagian a.
Suku banyak fx dibagi x – k menghasilkan hx sebagai hasil bagi dan fx sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga fx = x – k hx + fk
b. Suku banyak fx berderajat n jika dibagi oleh fungsi berderajat satu akan
menghasilkan hasil bagi berderajat n – 1 dan sisa pembagian berbentuk konstanta.
3. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear atau
kuadrat a.
Suku banyak fx dibagi ax + b menghasilkan h x
a sebagai hasil bagi
dan f–
b a
sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga fx = ax + b
a h x
+ f–
b a
.
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
166
b. Suku banyak fx dibagi ax
2
+ bx + c dan dapat difaktorkan menjadi ax – p
1
x – p
2
dapat ditulis fx = ax
2
+ bx + c ⋅
h
2
x + [ax – p
1
. h
1
p
2
+ f
1
p a
di mana h
2
x merupakan hasil bagi dan ax – p
1
h
1
p
2
+ f
1
p a
merupakan sisa pembagian. 4.
Teorema sisa a.
Jika suku banyak fx dibagi x – k, maka sisa pembaginya adalah fk. b.
Jika suku banyak fx dibagi ax + b, maka sisa pembaginya adalah f
b a
−
. c.
Jika suku banyak fx dibagi x – ax – b, maka sisanya adalah px + q dimana fa = pa + q dan fb = pb + q.
5. Teorema faktor
Jika fx suatu suku banyak, maka x – k faktor dari fx jika dan hanya jika k akar persamaan fx = 0.
6. Akar-akar rasional persamaan suku banyak
a. Suku banyak berderajat dua: ax
2
+ bx + c = 0 1
x
1
+ x
2
= – b
a 2
x
1
⋅ x
2
=
c a
b. Suku banyak berderajat tiga: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 1
x
1
+ x
2
+ x
3
= –
b a
2 x
1
⋅ x
2
+ x
2
⋅ x
3
+ x
1
⋅ x
3
=
c a
3 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –
d a
c. Suku banyak berderajat empat: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 1
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= – b
a 2
x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
+ x
2
⋅ x
3
⋅ x
4
+ x
3
⋅ x
4
⋅ x
1
+ x
4
⋅ x
1
⋅ x
2
= c
a 3
x
1
⋅ x
2
+ x
1
⋅ x
3
+ x
1
⋅ x
4
+ x
2
⋅ x
3
+ x
2
⋅ x
4
+ x
3
⋅ x
4
= –
d a
4 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
⋅ x
4
=
e a