Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear

159 Suku Banyak 5.5

4. Pembuktian Teorema Sisa dan Teorema Faktor

a. Pembuktian Teorema Sisa 1 Pembuktian teorema sisa 1

Teorema sisa 1 menyatakan bahwa jika fx dibagi x – k, maka sisa pembagiannya adalah fk. Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut. Diketahui f x = x – k hx + S. Derajat S lebih rendah satu daripada derajat x – k, sehingga S merupakan konstanta. Karena fx = x – k kx + S berlaku untuk semua x, maka jika x diganti k akan diperoleh: f k = k – k hk + S = 0 ⋅ hk + S = 0 + S = S Jadi, f k = S → S merupakan sisa pembagian terbukti. 2x 3 + x 2 – 13x + 6 = 0 2x – 1 x – 2 2x – 6 = 0 2x – 1 x – 2 x – 3 = 0 Jadi, akar-akar yang lain adalah x = 2 dan x = 3. 1. Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak berikut ini. a. x 3 + 4x 2 – 3x – 2 b. 2x 3 – 5x 2 + 8x – 33 c. 3x 4 – 14x 2 + 2x + 4 d. 2x 5 – 3x 4 – 5x 3 – 8x 2 – 14x + 6 e. –2x 3 + 7x 2 – 3x – 6 f. –2x 4 + 74x 2 – 72 2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak berikut ini. a. fx = x 3 – x 2 – 8x + 12 b. fx = 2x 3 – 3x 2 – 14x + 15 c. fx = 3x 3 – 13x 2 – 51x + 35 d. fx = x 4 + x 3 – 7x 2 – x + 6 e. fx = –x 3 – x 2 + 14x + 24 f. fx = –6x 4 + 17x 3 + 105x 2 + 64x – 60 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 160 Contoh soal Jika fx dibagi oleh x 2 – 5x + 6 sisanya 2x + 1. Tentukan sisanya jika fx dibagi oleh x – 3. Penyelesaian fx = x 2 – 5x + 6 hx + S fx = x – 3x – 2 hx + 2x + 1 f3 = 3 – 33 – 2 h3 + 2 ⋅ 3 + 1 f3 = 0 + 6 + 1 Jadi, sisanya adalah 7. 2 Pembuktian teorema sisa 2 Teorema sisa 2 menyatakan bahwa jika fx dibagi ax + b, maka sisa pembagiannya adalah f b a − . Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut. Diketahui fx = ax + b ⋅ h x a + S. Karena pada fx = ax + b ⋅ h x a + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika nilai x = b a − akan diperoleh: fx = ax + b h x a + S f b a − = { } − − ⋅ + + b h a b a b S a a f b a − = –b + b b h a S a − + f b a − = 0 b h a S a − + f b a − = 0 + S f b a − = S Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian adalah f b a − . Contoh soal Jika fx habis dibagi x – 2 dan jika dibagi 2x + 1 sisanya 5. Tentukan sisanya jika fx dibagi 2x 2 – 3x – 2. Penyelesaian Misalkan fx dibagi 2x 2 – 3x – 2, hasil baginya hx dan sisanya ax + b. fx = 2x 2 – 3x – 2 hx + S fx = x – 22x + 1 hx + ax + b