Posisi Titik Px Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
126
Ternyata D 0, sehingga garis x – y + 1 memotong lingkaran x
2
+ y
2
= 25 di dua titik yang berbeda. Titik-titik potongnya adalah:
x
2
+ x – 12 = 0 x + 4 x – 3 = 0
x + 4 = 0 atau x – 3 = 0
x = –4 atau
x = 3 Untuk x = –4 disubtitusikan ke persamaan:
y = x + 1 = –4 + 1 = –3
⇒ –4, –3 Untuk x = 3 disubtitusikan ke persamaan:
y = x + 1 = 3 + 1 = 4
⇒ 3, 4 Jadi, titik potongnya adalah –4, –3 dan 3, 4.
2. Tentukan posisi garis 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x
2
+ y
2
– 4x – 2y + 2 = 0.
Penyelesaian
2x – y + 1 = 0 ⇒ y = 2x + 1 ……… 1
x
2
+ y
2
– 4x – 2y + 2 = 0 ……… 2 Dari persamaan 1 disubstitusikan ke persamaan 2:
x
2
+ y
2
– 4x – 2y + 2 = 0 x
2
+ 2x +1
2
– 4x – 2 2x + 1 + 2 = 0 x
2
+ 4x
2
+ 4x + 1 – 4x – 4x – 2 + 2 = 0 5x
2
– 4x + 1 = 0 Pelajarilah pula contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Tentukan posisi garis x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x
2
+ y
2
= 25. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.
Penyelesaian
x – y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1 ….. 1
x
2
+ y
2
= 25 ……2 Dari persamaan 1 disubtitusikan ke persamaan 2:
x
2
+ y
2
= 25 x
2
+ x + 1
2
= 25 x
2
+ x
2
+ 2x + 1 = 25 x
2
+ x
2
+ 2x + 1 – 25 = 0 2x
2
+ 2x – 24 = 0 x
2
+ x – 12 = 0 D = b
2
– 4ac = 1
2
– 4 ⋅
1 –12 = 1 + 48
= 49 0
127
Lingkaran
D = b
2
– 4ac = –4
2
– 4 ⋅
5 ⋅
1 = 16 – 20
= –4 0 Ternyata D 0, dengan demikian garis 2x – y + 1 tidak memotong lingkaran
x
2
+ y
2
– 4x – 2y + 2 = 0.
4.2
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Diketahui persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= p
2
. Tentukan batas-batas nilai p supaya a. Titik A–9, 5 terletak di luar lingkaran
b. Titik B–5, –5 terletak di dalam lingkaran c. Titik C6, 8 terletak pada lingkaran
2. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 60 = 0 a. 5, 3
b. 7, 1 c. 10, 0
3. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ 13x + 5y + 6 = 0
a. A p, 3 b. B –4, p
c. C p, –6 4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
= 9. a. y = 3
b. 3x + y – 3 = 0 c. 5x + 7y = 35
5. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
– 2x – 2y – 14 = 0 a. 5x + 4y + 20 = 0
b. 2x + 3y = 6 c. x + y = 1