127
Lingkaran
D = b
2
– 4ac = –4
2
– 4 ⋅
5 ⋅
1 = 16 – 20
= –4 0 Ternyata D 0, dengan demikian garis 2x – y + 1 tidak memotong lingkaran
x
2
+ y
2
– 4x – 2y + 2 = 0.
4.2
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Diketahui persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= p
2
. Tentukan batas-batas nilai p supaya a. Titik A–9, 5 terletak di luar lingkaran
b. Titik B–5, –5 terletak di dalam lingkaran c. Titik C6, 8 terletak pada lingkaran
2. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 60 = 0 a. 5, 3
b. 7, 1 c. 10, 0
3. Tentukan nilai a jika titik-titik berikut terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ 13x + 5y + 6 = 0
a. A p, 3 b. B –4, p
c. C p, –6 4. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
= 9. a. y = 3
b. 3x + y – 3 = 0 c. 5x + 7y = 35
5. Tentukan posisi garis-garis berikut terhadap lingkaran x
2
+ y
2
– 2x – 2y – 14 = 0 a. 5x + 4y + 20 = 0
b. 2x + 3y = 6 c. x + y = 1
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Telah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan, yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong
lingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garis singgung pada lingkaran.
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
128
a. Persamaan Garis Singgung di Titik P x
1
, y
1
pada Lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
Garis singgung l menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
di titik Px
1
, y
1
karena OP ⊥
garis l. m
OP
. m
l
= –1
1 1
y x
. m
l
= –1 m
l
=
1 1
1 y
x −
m
l
=
1 1
x y
−
Persamaan garis singgungnya sebagai berikut. y – y
1
= m
l
x – x
1
y – y
1
=
1 1
x y
− x – x
1
y
1
y – y
1
= –x
1
x – x
1
y
1
y – y
1 2
= –x
1
x + x
1 2
x
1
x + y
1
y = x
1 2
+ y
1 2
x
1
x + y
1
y = r
2
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
di x
1
, y
1
ialah: x
1
x + y
1
y = r
2
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Tunjukkan bahwa titik 6, –8 terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
= 100, kemudian tentukan pula garis singgungnya.
Penyelesaian
Ditunjukkan bahwa titik 6, –8 terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
= 100, yaitu dengan mensubstitusikan 6, –8 pada lingkaran x
2
+ y
2
= 100 6
2
+ –8
2
= 100 36 + 64 = 100
Terbukti bahwa titik 6, –8 terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
= 100 Persamaan garis singgung di titik 6, –8 pada lingkaran x
2
+ y
2
= 100 adalah: x
1
x + y
1
y = r
2
6x – 8y = 100 3x – 4y = 50
Gradien garis OP di titik P x
1
, y
1
adalah m
OP
=
1 1
y x
. Dua garis tegak lurus jika
perkalian gradiennya = –1.
Ingat
129
Lingkaran
b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik x
1
, y
1
pada Lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
Perhatikan gambar berikut.
Gradien garis PQ adalah: m
PQ
= QR
PR =
1 1
y b
x a
− −
Gradien garis singgung l yang tegak lurus garis PQ adalah: m
l
⋅ m
PQ
= –1 m
l
⋅
1 1
y b
x a
− −
= –1 m
l
=
1 1
1 y
b x
a −
− −
= –
1 1
x a
y b
− −
Jadi persamaan garis l dengan gradien m
l
= –
1 1
x a
y b
− −
dan melalui titik Qx
1
, y
1
adalah: y – y
1
= m
l
x – x
1
y – y
1
= –
1 1
x a
y b
− −
x – x
1
y – y
1
y
1
– b = –x
1
– ax – x
1
yy
1
– by – y
1 2
+ by
1
= –x
1
x – x
1 2
– ax + ax
1
yy
1
– by – y
1 2
+ by
1
= –x
1
x + x
1 2
+ ax – ax
1
yy
1
– by + by
1
+ x
1
x – ax + ax
1
= x
1 2
+ y
1 2
……… 1 Untuk Qx
1
, y
1
terletak pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
, maka: x – a
2
+ y – b
2
= r
2
x
1
– a
2
+ y
1
– b
2
= r
2
x
1 2
– 2ax
1
+ a
2
+ y
1 2
– 2by
1
+ b
2
= r
2
x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2ax
1
+ 2by
1
– a
2
– b
2
……… 2
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
130
Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh: yy
1
– by + by
1
+ x
1
x – ax + ax
1
= x
1 2
+ y
1 2
yy
1
– by + by
1
+ x
1
x – ax + ax
1
= r
2
+ 2ax
1
+ 2by
1
– a
2
– b
2
yy
1
– by + by
1
+ x
1
x – ax + ax
1
– 2ax
1
– 2by
1
+ a
2
+ b
2
= r
2
yy
1
– by – by
1
+ x
1
x – ax – ax
1
+ a
2
+ b
2
= r
2
yy
1
– by – by
1
+ b
2
+ xx
1
– ax – ax
1
+ a
2
= r
2
y – by
1
– b + x – ax
1
– a = r
2
x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
x
1
– ax – a + y
1
– by – b = r
2
Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah: x
1
– a x – a + y
1
– b y – b = r
2
Untuk lebih memahami materi ini, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + 3
2
+ y – 5
2
= 36 pada titik A2, 3.
Penyelesaian
x + 3
2
+ y – 5
2
= 36 x
1
+ 3x + 3 + y
1
– 5y – 5 = 36 Pada titik A2, 3:
2 + 3x + 3 + 3 – 5y – 5 = 36 5x + 3 + –2y – 5 = 36
5x + 15 – 2y + 10 = 36 5x – 2y + 25 = 0
Jadi, persamaan garis singgung: 5x – 2y + 25 = 0.
c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Qx
1
, y
1
pada Lingkaran x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0
Dari persamaan garis singgung melalui titik Qx
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah: x
1
– ax – a + y
1
– by – b = r
2
x
1
x – ax
1
– ax + a
2
+ y
1
y – by
1
– by + b
2
= r
2
x
1
x – ax
1
+ x + a
2
+ y
1
y – by
1
+ y + b
2
= r
2
x
1
x + y
1
y – ax
1
+ x – by
1
+ y + a
2
+ b
2
– r
2
= 0 Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a
2
+ b
2
– r
2
, persamaannya menjadi:
