Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
186
b. f g–2
= fgx
= fx
2
+ 4 =
3x
2
+ 4 – 1 =
3x
2
+ 12 – 1 =
3x
2
+ 11 f g–2
= 3–2
2
+ 11 =
3 ⋅
4 + 11 =
12 + 11 = 23 c.
g fx = 9x
2
– 6x + 5 g f–3 = 9–3
2
– 6 –3 + 5 = 81 + 18 + 5
= 104
Cara 2 a. g f1 = gf1
= g3 ⋅
1 – 1 = g2
= 2
2
+ 4 = 8 b.
f g –2 = fg–2 = f–2
2
+ 4 = f8
= 3 ⋅
8 – 1 = 23 c.
g f–3 = gf–3
= g3 –3 – 1 = g–10
= –10
2
+ 4 = 104
6.3
Kerjakan soal-soal di bawah ini di buku tugas.
1. Diketahui fungsi p dan q pada A = {2, 3, 4, 5, 6} ditulis sebagai fungsi berurutan sebagai berikut.
p = {2, 4, 3, 6, 4, 4, 5, 2, 6, 3} q = {2, 5, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 6, 4}
a. Tentukan p q2, p q3, p q4, p q5, p q6. b. Tentukan q p2, q p3, q p4, q p5, q p6.
c. Buktikan p q ≠ q px.
187
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
1. Menjelaskan Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
i ii
Dari gambar i, himpunan A yang beranggotakan a
1
, a
2
, a
3
, a
4
diperakan oleh fungsi f ke himpunan B yang beranggotakan b
1
, b
2
, b
3
daerah hasil adalah: {a
1
, b
1
, a
2
, b
2
, a
3
, b
3
, a
4
, b
4
}. Pada gambar ii himpunan B dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A daerah hasil adalah: {b
1
, a
1
, b
2
, a
2
, b
2
, a
4
, b
3
, a
3
}. Pemetaan g : B →
A diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f : A
→ B atau B
merupakan balikan dari f dinotasikan g = f
-1
, sering disebut g merupakan invers dari f. 2. Diketahui fungsi f : R
→ R dan g : R
→ R ditentukan oleh fx = 2 – x dan
gx = 3x + 4. Tentukan nilai fungsi komposisi berikut ini. a. f g–2
c. f f–1 b. g f1
d. g g2 3. Diketahui f : R
→ R dan g : R
→ R ditentukan oleh fx = x + 1 dan
gx = 2x – 1. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi-fungsi berikut ini, tentukan nilai:
a. f g–1 c. g f–2
b. f g3 d. g f1
4. Diketahui fungsi f : R →
R dan g : R →
R ditentukan oleh fx = 2x
2
dan gx = x – 3. Tentukan nilai x:
a. jika f gx = 2 c. g fx = 5
b. jika f gx = 4 d. g fx = –1
D Fungsi Invers
A
a
1
a
2
a
3
a
4
B
b
1
b
2
b
3
f
B
a
1
a
2
a
3
a
4
A
b
1
b
2
b
3
g = f
-1
Jika fungsi f = A →
B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {a, b | a ∈ A dan b ∈ B}
maka invers fungsi f adalah f
-1
= b →
A ditentukan oleh f
-1
= {b, a | b ∈ B, dan a ∈ A}.
Ingat
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
188 2. Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f
–1
jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka
f
–1
merupakan fungsi invers f jika berlaku f
–1
fx = x dan f f
–1
x = x. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.
a. Buatlah permisalan fx = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan fx = y, sehingga ditemukan fungsi dalam
y dan nyatakanlah x = fy. c.
Gantilah y dengan x, sehingga fy = f
–1
x. Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Jika diketahui fx =
2 x
x +
, x ≠ –2, tentukan inversnya.
Penyelesaian
Misal fx = y, maka soalnya menjadi: fx =
2 x
x +
y =
2 x
x +
yx + 2 = x yx + 2y = x
yx – x = –2y y – 1x = –2y
A
b
1
b
2
b
3
B
a
1
a
2
a
3
fungsi f B
a
1
a
2
a
3
A
b
1
b
2
b
3
fungsi invers f
x = 2
1 y
y −
− fy =
2 1
y y
− −
f
–1
x = 2
1 x
x −
−
2. Diketahui f : R
→ R dengan ketentuan fx = 3x + 8.
a. Tentukan f
–1
x. b.
Tentukan f
–1
fx. c.
Tentukan f f
–1
x. d.
Buktikan bahwa f
–1
fx = f f
–1
x.
189
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
b. f
–1
fx = f
–1
fx = f
–1
3x + 8 =
1 2
3 8
2 3
3 x
+ − =
8 2
2 3
3 x
+ − = x
c. f f
–1
x = ff
–1
x =
f 1
2 2
3 3
x
−
= 1
2 3
2 3
3 x
−
+ 8
= x – 8 + 8
= x
d. Dari jawaban b dan c terbukti f
–1
fx = f f
–1
x = x.
Penyelesaian
a. Misalnya fx = y
fx = 3x + 8 y = 3x + 8
y – 8 = 3x 3x = y – 8
x = 8
3 y
− x =
1 8
3 3
y −
x = 1
2 2
3 3
y −
fy = 1
2 2
3 3
y −
f
–1
x = 1
2 2
3 3
x −
6.4
Kerjakan soal-soal di bawah ini.
1. Jika fungsi f mempunyai invers, tentukanlah rumus untuk fungsi f
–1
dari: a. fx = 3x – 2
c. fx = 2
2 1
x x
+ −
, 1
2 x
≠ − b. fx = 2x + 5
d. fx = x
2
+ 4 2. Jika f dan g suatu fungsi yang dinyatakan oleh fx = x + 1 dan gx = 2x – 7,
tentukan: a. f
–1
x c. f f
–1
x b. g
–1
x d. g
–1
g
–1
x
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
190 3. Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Grafik Fungsi Asalnya
Untuk menggambarkan grafik f
–1
dan f, perhatikanlah diagram di samping. Dari diagram di
samping dapat diketahui jika y = fx maka x = fy. Demikian pula, jika x = fy maka y = fx. Dengan
demikian dapat dikatakan bahwa fungsi yang memetakan A ke B bersifat bijektif dan mempunyai
fungsi invers.
Fungsi-fungsi lain selain fungsi bijektif tidak memiliki fungsi invers. Jadi, hanya fungsi bijektif yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh
soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui fx = x + 3. Gambarlah grafik fx dan f
–1
x.
Penyelesaian
fx = x + 3 Grafik:
y = x + 3 x = y – 3
fy = y – 3
f
–1
x = x – 3
4. Kaitan Sifat Fungsi Invers dengan Fungsi Komposisi
Jika terdapat fungsi komposisi g f, maka g f dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya.
3. Jika f suatu fungsi yang dinyatakan oleh fx = 2x – 3, tentukanlah: a. f
–1
x b. f f
–1
x c. f
–1
f
–1
x 4. Jika f dan g suatu fungsi yang dinyatakan oleh fx = x – 1 dan gx = 3x + 4,
tentukanlah: a. f
–1
x b. g
–1
x c. f f
–1
x d. g
–1
g
–1
x
x = fy y = fx
f f
–1
A B
Y
X f x = x
+ 3 f x = x –
–1
3
3 3
–3 –3
