131
Lingkaran
x
1
x + y
1
y – ax
1
+ x – by
1
+ y + a
2
+ b
2
– r
2
= 0 x
1
x + y
1
y + Ax
1
+ x + By
1
+ y + C = 0 Maka persamaan garis singgung melalui Qx
1
, y
1
pada lingkaran x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 adalah
x
1
x + y
1
y + Ax
1
+ x + By
1
+ y + C = 0 Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A2, 1 pada lingkaran x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 5 = 0.
Penyelesaian
A2, 1 → x
1
= 2 x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 5 = 0 y
1
= 1 A = –1 , B = 2 dan C = –5
Persamaan garis singgung melalui titik A2, 1: x
1
x + y
1
y + Ax
1
+ Ax + By
1
+ By + C = 0 2x + 1.y + –1
⋅
2 + –1x + 2
⋅
1 + 2
⋅
y – 5 = 0 2x + y – 2 – x + 2 + 2y – 5 = 0
x + 3y – 5 = 0
d. Persamaan Garis Singgung Kutub Polar
Jika melalui titik Ax
1
, y
1
di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya Bx
2
, y
2
dan Cx
3
, y
3
, maka persamaan garis BC adalah x
1
x + y
1
y = r
2
disebut garis kutub pada lingkaran dan titik Ax
1
, y
1
disebut titik kutub. Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik Ax
1
, y
1
di luar lingkaran dapat ditentukan dengan langkah-langkah:
1 Membuat persamaan garis kutub dari
titik Ax
1
, y
1
terhadap lingkaran. 2
Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran.
3 Membuat persamaan garis singgung
melalui titik potong garis kutub dan lingkaran.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik 5, 1 di luar lingkaran x
2
+ y
2
= 13
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
132
4.3
Penyelesaian
Persamaan garis kutub di 5, 1 adalah sebagai berikut: x
1
x + y
1
y = r
2
5x + y = 13 y = 13 – 5x
y = 13 – 5x
Persamaan garis y = 13 – 5x disubstitusikan dengan lingkaran x
2
+ y
2
= 13 diperoleh: x
2
+ y
2
= 13 x
2
+ 13 – 5x
2
= 13 x
2
+ 169 – 130x + 25x
2
= 13 26x
2
– 130x + 156 = 0 x
2
– 5x + 6 = 0 x – 2 x – 3 = 0
x = 2 atau x = 3 Untuk x = 2, maka y = 13 – 5x
= 13 – 5
⋅
2 = 13 – 10 = 3
Diperoleh titik singgung 2, 3. Jadi, persamaan garis singgung melalui 2, 3 adalah 2x + 3y = 13.
Untuk x = 3, maka y = 13 – 5x = 13 – 5
⋅ 3
= 13 – 15 = –2 Diperoleh titik singgung 3, –2.
Jadi, persamaan garis singgung melalui 3, –2 adalah 3x – 2y = 13.
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini. a. x
2
+ y
2
= 9 di titik 2, –5 c. x
2
+ y
2
= 4 di titik –4, –7 b. x
2
+ y
2
= 16 di titik –3, 4 d. x
2
+ y
2
= 12 di titik 5, 6 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini.
a. x – 4
2
+ y + 3
2
= 36 di titik –2, 1 b. x + 2
2
+ y – 3
2
= 9 di titik –2, 6 c. x – 1
2
+ y + 5
2
= 7 di titik 3, –2 d. x + 5
2
+ y – 2
2
= 10 di titik 4, 3
