Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
92
= sin
cos cos
sin cos
cos cos
cos sin
sin cos
cos A
B A
B A
B A
B A
B A
B +
−
= sin
cos cos
sin cos
cos cos
cos cos
cos sin
sin cos
cos cos
cos A
B A
B A
B A
B A
B A
B A
B A
B +
−
= sin
sin cos
cos sin
sin 1
cos cos
A B
A B
A B
A B
+ −
⋅ =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ −
Rumus tangen jumlah dua sudut: tan A + B =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ −
tan A – B = tan
tan 1 tan
tan A
B A
B −
+ Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlah
dan selisih dua sudut.
Contoh soal
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian
tan 105° = tan 60 + 45° = tan 60
tan 45 1 tan 60 tan 45
° + °
− °
° =
3 1 1
3 +
−
=
3 1 1 3
1 3
1 3
+ +
× −
+
=
2 2
3 3 1
3 1
3 + + +
− =
4 2 3
1 3 +
− = =
4 2 3
2 +
− = –2 +
3
3.1
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih sudut berikut. a. sin 105°
b. sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°
93
Trigonometri
4. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
a. Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus sin A + B, untuk A = B maka diperoleh: sin 2A = sin A + B
= sin A cos A + cos A sin A = 2 sin A cos A
Rumus: sin 2A = 2 sin A cos A
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui sin A = –
5 13
, di mana A di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah sin 2A.
Penyelesaian
r
2
= x
2
+ y
2
⇒ x
2
= r
2
– y
2
= 13
2
– –5
2
= 168 – 25 x
2
= 144 x = 12, karena di kuadran III
cos A = x
r −
cos A = –
12 13
sin 2A = 2 sin A cos A = 2 –
5 13
–
12 13
=
120 169
2. Hitunglah dengan rumus cosinus jumlah dan selisih sudut berikut. a. cos 195°
b. cos 58° cos 13° + sin 58° sin 13° 3. Diketahui sin A =
3 5
, cos B = 5
13 , dan A dan B merupakan sudut lancip. a. Tentukan tan A + B
b. Tentukan tan A – B 4. Diketahui
∠ A dan
∠ B adalah sudut lancip. Jika cos A =
4 5
dan cos B = 24
25 ,
tentukan: a. cos A + B
b. sin A – B
5. Sederhanakanlah: tan x + 45° ⋅ tan x – 45°.
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
94
b. Rumus Cosinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus cos A + B, untuk A = B maka diperoleh: cos 2A
= cos A + A = cos A cos A – sin A sin A
= cos
2
A – sin
2
A ……………..1 atau
cos 2A = cos
2
A – sin
2
A = cos
2
A – 1 – cos
2
A = cos
2
A – 1 + cos
2
A = 2 cos
2
A – 1 ……………..2 atau
cos 2A = cos
2
A – sin
2
A = 1 – sin
2
A – sin
2
A = 1 – 2 sin
2
A …………3 Dari persamaan 1, 2, dan 3 didapat rumus sebagai berikut.
cos 2A = cos
2
A – sin
2
A cos 2A = 2 cos
2
A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin
2
A Pelajarilah contoh soal berikut untuk memahami rumus cosinus sudut ganda.
Contoh soal
Diketahui cos A = – 24
25 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumus
sudut ganda, hitunglah nilai cos 2A.
Penyelesaian
cos 2A = 2 cos
2
A – 1 = 2–
24 25
2
–1 = 2
⋅ 276
625 – 1 =
1.152 527
1 625
625 − =
c. Rumus Tangen Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus tan A + B, untuk A = B diperoleh: tan 2A
= tan A + A =
tan tan
1 tan tan
A A
A A
+ −
⋅ =
2
2 tan 1 tan
A A
−
Ingat
sin
2
A + cos
2
A = 1
