Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
102
Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Sederhanakan cos 35° – cos 25°.
Penyelesaian
cos 35° – cos 25° = –2 sin
2 1
35 + 25° sin
2 1
35 – 25° = –2 sin 30° sin 5°
= –2 ⋅
2 1
sin 5° = – sin 5°
c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Dari rumus 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B, dengan memisalkan A + B =
α dan A – B = β, maka didapat rumus: sin
α + sin β = 2 sin
2 1
α + β cos
2 1
α – β dan sin
α – sin β = 2 cos
2 1
α + β sin
2 1
α – β Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah
penggunaannya dalam contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Sederhanakan sin 315° – sin 15°.
Penyelesaian
sin 315° – sin 15° = 2 ⋅ cos
1 2
315 + 15° ⋅ sin
2 1
315 – 15° =
2
⋅
cos 165°
⋅
sin 150° =
2 ⋅ cos 165⋅
1 2
= cos 165°
2. Sederhanakan sin 45° + sin 75°.
Penyelesaian
sin 45° + sin 75° = 2
⋅
sin
2 1
45 + 75°
⋅
cos
2 1
45 – 75° = 2
⋅ sin 60° ⋅ cos –15° = 2
⋅
1 3
2
⋅
cos 15° = 3 cos 15°
103
Trigonometri
d. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen
tan α + tan β =
sin sin
cos cos
α β
+ α
β = sin
cos cos
sin cos
cos cos
cos α
β α
β +
α β
α β
= sin
cos cos
sin cos
cos α
β + α
β α
β =
sin cos
cos α + β
α β
= 2 sin
2 cos cos
α + β α
β = 2 sin
cos cos
α + β α + β +
α − β Dengan cara yang sama didapat rumus:
tan α + tan β =
2 sin cos
cos α + β
α + β + α − β
tan α – tan β =
2 sin cos
cos α − β
α + β + α − β
Perhatikan penggunaan rumus penjumlahan pada contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Tentukan tan 52,5° – tan 7,5°.
Penyelesaian
tan 52,5° – tan 7,5° =
2sin 52,5 – 7,5 cos 52,5
7,5 cos 52,5 – 7,5
° °
°+ ° +
° °
= 2 sin 45
cos 60° + cos 45° =
1 2
2 2
1 1
+ 2
2 2
⋅
= 1
1 –
2 2
2 2
1 1
1 1
+ 2
– 2
2 2
2 2
⋅
=
1 1
2 –
2 2
2 1
1 –
4 2
=
1 1
2 –
2 2
2 1
4 −
=
2 2 4
− +
=
4 – 2 2
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
104
2. Tentukan nilai tan 165° + tan 75°
Penyelesaian
tan 165° + tan 75° = 2 sin 165 75
cos 165 75 cos 165 75
+ °
+ ° +
− °
= 2 sin 450
cos 240 cos 90
° ° +
° =
1 2
1 2
3 2
⋅ − −
= 2 3
3. Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Kamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri dengan menggunakan sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Diketahui tan A =
12 5
dan sin B =
4 5
, A dan B sudut lancip. Buktikan nilai cos A + B =
33 65
− .
Bukti
Penyelesaian ruas kiri: cos A + B = cos A
⋅
cos B – sin A
⋅
sin B =
5 3
12 4
13 5 13
5 ⋅
− ⋅
= 15
48 –
65 65
=
33 65
−
terbukti 2.
Jika 2 cos x + 2
π = cos x –
2 π
, maka buktikan sin x = 0.
Bukti
2 cos x + 2
π = cos x –
2 π
2{cos x cos 2
π – sin x sin
2 π
} = cos x cos 2
π + sin x sin
2 π
2 cos x cos 2
π – 2 sin x sin
2 π
= cos x cos 2
π + sin x sin
2 π
Ingat
Jika tan α =
5 12
, maka sin A =
13 12
dan cos A = 13
5 Jika sin B =
5 4
, maka cos B = 5
3
