155
Suku Banyak
Penyelesaian
Cara 1: Cara biasa fx
= 5x
3
+ 21x
2
+ 9x – 1 f –
1 5
= 5
⋅ –
1 5
3
+ 21 ⋅
– 1
5
2
+ 9 ⋅
– 1
5 – 1
= 5
⋅
–
1 125
+ 21
⋅
1 25
– 9
5 – 1
= –
5 125
+ 21
25 –
9 5
– 1 =
–
1 25
+
21 25
–
45 25
– 1 =
– 25
25 – 1
= –2
Jadi, sisanya –2. Cara 2: Cara sintetik Horner
– 5
1 5
21 9
–1 –1
–4 –1
5 20
5 –2
Jadi, sisanya –2.
b. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.
Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak fx dibagi x – ax – b, maka sisanya adalah px + q di mana fa = pa + q dan fb = pb + q.
Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Jika fx = x
3
– 2x
2
+ 3x – 1 dibagi x
2
+ x – 2, tentukanlah sisa pembagiannya.
Penyelesaian
Pada fx = x
3
– 2x
2
+ 3x – 1 dibagi x
2
+ x – 2, bentuk x
2
+ x – 2 dapat difaktorkan menjadi x + 2x – 1. Berdasarkan teorema sisa 3, maka dapat dilakukan
perhitungan sebagai berikut. x + 2x – 1
⇔ x – –2x – 1 maka nilai a = –2 dan b = 1.
+
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
156
5.4
f a = pa + q f –2 = –2p + q
–2
3
– 2 ⋅
–2
2
+ 3 ⋅
–2 – 1 = –2p + q –8 – 8 – 6 – 1 = –2p + q
–23 = –2p + q ……… 1 f b = pb + q
f 1 = p + q 1
3
– 2 . 1
2
+ 3 . 1 – 1 = p + q
1 – 2 + 3 – 1 = p + q
1 = p + q
……… 2 Nilai p dapat dicari dengan mengeliminasi q dari persamaan 1 dan 2.
–2p + q = –23 p + q = 1
–3p = –24
p = 8
Nilai p disubtitusikan ke persamaan 2. p + q
= 1 8 + q
= 1 q = –7
Jadi, sisa pembagiannya = px + q = 8x – 7
1. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear berikut ini. a. x
3
+ 4x
2
+ x + 3 dibagi x – 1 b. x
3
– 3x
2
+ 7 dibagi x – 7 c. x
4
+ x
2
– 16 dibagi x + 1 d. 2x
3
+ 7x
2
– 5x + 4 dibagi 2x + 1 e. 2x
3
+ 5x
2
+ 3x + 7 dibagi 3x + 2 2. Tentukanlah sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat berikut ini.
a. 2x
4
– 3x
2
– x + 2 dibagi x – 2 x + 1 b. x
4
+ x
3
– 2x
2
+ x + 5 dibagi x
2
+ x – 6 c. 3x
3
+ 8x
2
– x – 11 dibagi x
2
+ 2x – 3 d. 4x
3
+ 2x
2
– 3 dibagi x
2
+ 2x – 3 e. x
3
+ 14x
2
– 5x + 3 dibagi x
2
+ 3x – 4
157
Suku Banyak
2. Penggunaan Teorema Faktor
Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak. Perhatikan teorema faktor berikut ini.
Jika fx suatu suku banyak, maka x – k merupakan faktor dari fx jika dan hanya jika fx = 0.
Untuk lebih memahami penggunaan teorema faktor, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Tentukanlah faktor-faktor dari: 1.
x
3
– 2x
2
– x + 2 2.
2x
3
+ 7x
2
+ 2x – 3
Penyelesaian
1. Jika x – k merupakan faktor suku banyak x
3
– 2x
2
– x + 2, maka k merupakan pembagi dari 2, yaitu ± 1 dan ± 2. Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut.
Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi x – 1. 1
1 –2
–1 2
1 –1
–2 2
–1 –2
x
2
– 2x
2
– x + 2 = x – 1x
2
– x – 2 = x – 1x – 2 x + 1
Jadi,faktor-faktornya adalah x – 1x – 2x + 1. 2.
Jika x – k merupakan faktor suku banyak 2x
3
+ 7x
2
+ 2x – 3, maka k merupakan pembagi dari 3, yaitu ± 1 dan ± 3. Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut.
Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi x + 1. –1
2 7
2 –3
–2 –5
3 2
5 –3
2x
3
+ 7x
2
+ 2x – 3 = x + 12x
2
+ 5x – 3 = x + 1x + 32x – 1
Jadi, faktor-faktornya adalah x + 1x + 32x – 1.
3. Penyelesaian Persamaan Suku Banyak
Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi fx = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan
suku banyak dengan menentukan faktor linear.
+
+
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
158
Jika fx suatu banyak, maka x – k merupakan faktor dari fx jika dan hanya jika k akar persamaan fx = 0
Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari fx = x
3
– 2x
2
– x + 2.
Penyelesaian
fx = x
3
– 2x
2
– x + 2 fx dibagi x – 1
1 1
–2 –1
2 1
–1 –2
1 –1
–2 Karena f1 = 0, maka x – 1 merupakan penyelesaian dari x
3
– 2x
2
– x + 2. Sedangkan, penyelesaian yang lain x
2
– x – 2. x
3
– 2x
2
– x + 2 = x – 1 x
2
– x – 2 = x – 1 x + 1 x – 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 1, 2}. 2.
Jika 1
2 merupakan akar-akar persamaan 2x
3
+ x
2
– 13x + a = 0, tentukanlah a dan akar-akar yang lain.
Penyelesaian
Untuk x = 1
2 ⇒ 2
2 1
3
+ 2
1
2
– 13 2
1 + a = 0
2
⋅ 1 8
+ 1
4 –
13 2
+ a = 0 1
4 +
1 4
– 6 1
2 + a = 0
–6 + a = 0 a = 6
Jadi suku banyaknya fx 2x
3
+ x
2
– 13x + 6 1
2 2
1 –13
6 1
1 –6
2 2
–12 2
2 2
–12 4
12 2
6
+
+
+
159
Suku Banyak
5.5
4. Pembuktian Teorema Sisa dan Teorema Faktor
a. Pembuktian Teorema Sisa 1 Pembuktian teorema sisa 1
Teorema sisa 1 menyatakan bahwa jika fx dibagi x – k, maka sisa pembagiannya adalah fk. Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikan
kebenaran teorema tersebut.
Diketahui f x = x – k hx + S. Derajat S lebih rendah satu daripada derajat x – k, sehingga S merupakan konstanta. Karena fx = x – k kx + S
berlaku untuk semua x, maka jika x diganti k akan diperoleh:
f k = k – k hk + S = 0
⋅ hk + S
= 0 + S = S
Jadi, f k = S → S merupakan sisa pembagian terbukti.
2x
3
+ x
2
– 13x + 6 = 0 2x – 1 x – 2 2x – 6 = 0
2x – 1 x – 2 x – 3 = 0 Jadi, akar-akar yang lain adalah x = 2 dan x = 3.
1. Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak berikut ini. a. x
3
+ 4x
2
– 3x – 2 b. 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 33 c. 3x
4
– 14x
2
+ 2x + 4 d. 2x
5
– 3x
4
– 5x
3
– 8x
2
– 14x + 6 e. –2x
3
+ 7x
2
– 3x – 6 f.
–2x
4
+ 74x
2
– 72 2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak berikut
ini. a. fx = x
3
– x
2
– 8x + 12 b. fx = 2x
3
– 3x
2
– 14x + 15 c. fx = 3x
3
– 13x
2
– 51x + 35 d. fx = x
4
+ x
3
– 7x
2
– x + 6 e. fx = –x
3
– x
2
+ 14x + 24 f.
fx = –6x
4
+ 17x
3
+ 105x
2
+ 64x – 60
