Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
110 I.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.
1. Diketahui sin A =
13 12
, sin B =
5 3
, dengan A dan B dikuadran I. Maka nilai cos A + B adalah ….
a. –
65 16
d.
65 16
b. –
25 7
e.
15 65
c.
25 7
2. Sin 30° = …..
a. –
4 1
d.
2 1
b. –
2 1
e. 1 c.
4 1
3. 2 sin 15° cos 15° = ….
a.
2 3
1
d.
3 2
1
b.
2 1
e. 1 c. –
2 2
1
4. Jika tan A =
2 1
dan tan B =
3 1
, maka tan A + B adalah …. a.
2 2
1
d.
3 3
1
b.
3 2
1
e. 1 c.
2 3
1
5. Sin 17° cos 13° + cos 17° sin 13° = ….
a.
2 1
d. 1 b.
2 2
1
e. 0 c.
3 2
1
111
Trigonometri
6. 2 cos
2
30° – 1 = …. a.
2 1
d.
2 3
1
b.
2 2
1
e. 1 c.
3 2
1
7. Diketahui sin x =
25 7
dan sin y =
5 3
, dengan x dan y sudut tumpul. Sin x + y = …. a.
125 117
d. –
5 3
b.
5 3
e. –
125 4
c.
5 4
−
8. Jika sin 90 – A° = 2
3
, maka tan A = …. a.
3 6
1
d.
3
b.
3 3
1
e. 2
3
c.
3 2
1
9. Sin 75° cos 15° + cos 75° sin 15° = …..
a. 0 d.
3 2
1
b. 6 e. 1
c.
6 2
1
10. Jika tan 5° = p, maka tan 40° = …. a.
1 1
p p
+ −
d. 1
1 p
p +
− b.
1 1
p p
− +
e.
2
1 1
p p
− +
c. 1
1 p
− 11.
1 cos 2 1 cos 2
x x
+ −
senilai dengan … a. tan x
d. cot
2
x b. cot x
e. cos
2
x c. tan
2
x
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
112
12. Cos 2A – 2 cos
2
A = …. a. –1
d. –2 cos A b. 1
e. 2 cos A sin A c. –2 sin A
13. Cos 41° cos 11° + sin 41° sin 11° = …. a.
3 2
1
d. 0 b.
2 2
1
e. –1 c.
2 1
14. Sin x –
3 π
+ sin x –
3 4
π
= …. a. 2 sin x
d. –1 b. sin x
e. –sin x c. 0
15. Cos 44
2 1
cos 30
2 1
– sin 44
2 1
sin 30 = .... a.
2 2
1 6
2 1
+
d.
2 4
1 6
4 1
−
b.
2 4
1 6
4 1
−
e. –
2 4
1 6
4 1
−
c.
2 2
1 6
2 1
−
16. Jika cos 2A = 8
10 , dengan A sudut lancip, maka tan A adalah ….
a. 1
3 d.
1 10
b.
1 5
e.
1 9
c. 1
20 17.
1 4
sin 52,5° sin 7,5° = …. a.
1 2 – 1
32 d.
1 2 – 1
4 b.
1 2 – 1
16
e.
1 2 – 1
8
c. 1
2 – 1 2
113
Trigonometri
18. Cos 15° – sin 15° = .... a. 0
d. cos 45° b. cos 60°
e. –cos 45° c. –cos 60°
19. Sin 67,5° + sin 22,5° = …. a.
2
d. 2 sin 22,5
° b. sin 22,5°
e.
2
sin 22,5° c. cos 22,5°
20. Jika sin 2x = 1 – 4p², maka cos² x = …. a.
2 1
2 p
− +
d. 1
2 p
+
b.
1 2
p − +
e. 0 c.
2 1
2 p
+
II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.
1. Diketahui sin A = 5
3 dan tan B = 12
5 . Hitunglah: a. sin A + B
b. cos A – B 2.
Tentukan nilai dari: a. cos 123° cos 57° – sin 123° sin 57°
b. cos 100° sin 10° – sin 100° cos 10° c.
o o
o o
12 tan
42 tan
1 12
tan 42
tan +
−
3. Hitunglah nilai dari:
a. 2 sin 52 2
1 ° cos 7 2
1 ° b. 2 cos 52
2 1 ° sin 7
2 1 °
4. Nyatakan dalam bentuk paling sederhana.
a. sin 75° + sin 15° b. cos 100° + cos 20°
c. cos 35° – cos 25°
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
114
5. Buktikan:
a. 1
tan sin
sin 2
1 sin
sin tan
2 A
B A
B A
B A
B −
− =
+ +
b. sin 3
sin tan 2
cos3 cos
A A
A A
A +
= +
6. Sederhanakanlah:
a.
o o
o o
40 cos
80 cos
40 sin
80 sin
+ +
b.
o o
o o
25 cos
115 cos
115 cos
25 cos
− +
c. sin
sin 2 cos 2
cos 2 −
+ A
B A
B 7.
Jika cos 2A = 0,75, dengan 0° A 90°, hitunglah: a. cos A
b. sin A 8.
Hitunglah nilai tan 75° + tan 15° . 9.
Diketahui A, B, C adalah sudut-sudut dalam sebuah segitiga. Jika A – B = 30° dan C =
6 5
, hitunglah nilai dari cos A sin B. 10. Jika cos 2A =
10 8
, dengan A sudut lancip, berapakah tan A?
115
Lingkaran
4
Lingkaran
Lihatlah benda-benda di sekitarmu. Dapatkah kamu menemukan benda-benda berbentuk lingkaran? Ternyata banyak sekali benda-benda berbentuk lingkaran, seperti
roda kendaraan, CD, arloji, dan sebagainya. Dalam bab ini kamu akan mempelajari lingkaran yang terkait dengan persamaan
lingkaran dan garis singgungnya. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi syarat tertentu serta menentukan
persamaan garis singgung pada lingkaran dengan berbagai situasi.
Persamaan Lingkaran
;
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
;
v
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
116
• pusat lingkaran
• diskriminan
• posisi titik
• posisi garis
• garis kutub
• gradien
• sejajar
• tegak lurus
• persamaan lingkaran
Lingkaran
Persamaan Lingkaran Persamaan garis
singgung Lingkaran
Persamaan lingkaran berpusat
di 0, 0 dan a, b Kedudukan titik
dan garis terhadap lingkaran
Menentukan pusat dan jari-jari
lingkaran yang persamaannya
diketahui Merumuskan
persamaan garis singgung yang
melalui suatu titik pada lingkaran
Merumuskan persamaan garis
singgung yang gradiennya
diketahui Melukis garis yang
menyinggung lingkaran dan menentukan sifat-
sifatnya
Persamaan garis singgung lingkaran
117
Lingkaran
A Persamaan Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu
titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan
jari-jari lingkaran.
Dari gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka
OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.
2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O0, 0 dan a, b
a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O0, 0
Jika titik Ax
A
, y
A
terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O0, 0 ke titik
Ax
A
, y
A
diperoleh: OA = r =
2 2
A A
x y
− +
− r
2
= x
A
– 0
2
+ y
A
– 0
2
r
2
= x
A 2
+ y
A 2
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O0, 0 dan berjari-jari r adalah:
x
2
+ y
2
= r
2
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan persamaan lingkaran berpusat di O0, 0, pelajarilah
contoh soal berikut.
Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui: 1.
pusatnya O0, 0 dan berjari-jari 12; 2.
pusatnya O0, 0 dan melalui 7, –24.
Penyelesaian
1. Lingkaran yang berpusat di O0, 0 dan r = 12, maka persamaannya:
x
2
+ y
2
= r
2
⇔ x
2
+ y
2
= 12
2
⇔ x
2
+ y
2
= 144 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O0, 0 dan r = 12 adalah
x
2
+ y
2
= 144.
A D
C B
O
r r
r r
Ingat
OA
2
= OB
2
+ BA
2
r
2
= x
2
+ y
2
atau x
2
+ y
2
= r
2
O
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
118
2. Lingkaran yang berpusat di O0, 0 dan melalui 7, –24.
Maka jari-jari r =
2 2
x y
+ =
2 2
7 24
+ − =
49 576 625
+ =
= 25 Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O0, 0 dan melalui 7, –24 adalah
x
2
+ y
2
= 625.
b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik Aa, b
Jika titik Aa, b adalah pusat lingkaran dan titik Bx, y terletak pada lingkaran, maka jari-jari
lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
r = jarak A ke B r
2
= AB
2
= x
B
– x
A 2
+ y
B
– y
A 2
= x – a
2
+ y – b
2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di a, b dan berjari-jari r adalah:
x – a
2
+ y – b
2
= r
2
Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A a, b, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui: 1.
pusatnya –2, 3 dan berjari-jari 5; 2.
pusatnya 5, 2 dan melalui –4, 1; 3.
pusatnya 4, 5 dan menyinggung sumbu X.
Penyelesaian
1. Pusat –2, 3, r = 5
Persamaan lingkaran: x – –2
2
+ y – 3
2
= 5
2
x + 2
2
+ y – 3
2
= 25 x
2
+ 4x + 4 + y
2
– 6y + 9 = 25 x
2
+ y
2
+ 4x – 6y + 13 = 25 x
2
+ y
2
+ 4x – 6y – 12 = 0 2.
Pusat 5, 2 dan melalui –4, 1 r =
2 2
5 4 2 1
− − + −
=
2 2
5 4
2 1 +
+ − =
2 2
9 1
81 1 82
+ =
+ =
Ingat
Jarak antara titik Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
adalah: AB =
2 2
1 2
1 2
x x
y y
− +
−
119
Lingkaran
Persamaan lingkaran: x – 5
2
+ y – 2
2
=
82
2
x
2
– 10x + 25 + y
2
– 4y + 4 = 82 x
2
+ y
2
– 10x – 4y + 29 = 82 x
2
+ y
2
– 10x – 4y – 53 = 0 3.
Pusat 4, 5 dan menyinggung sumbu X → jari-jari lingkaran = 5
Persamaan lingkaran: x – 4
2
+ y – 5
2
= 5
2
x
2
– 8x + 16 + y
2
– 10y + 25 = 25 x
2
+ y
2
– 8x – 10y + 41 = 25 x
2
+ y
2
– 8x – 10y + 16 = 0
3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat a, b dan berjari-jari r adalah: x – a
2
+ y – b
2
= r
2
x
2
– 2ax + a
2
+ y
2
– 2by + b
2
= r
2
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + a
2
+ b
2
= r
2
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + a
2
+ b
2
– r
2
= 0 Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a
2
+ b
2
– r
2
= C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:
x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya –A, –B dan jari- jari lingkaran r =
2 2
2
a b
C +
−
atau r =
2 2
A B
C +
−
Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan
lingkaran sebagai berikut. a.
x
2
+ y
2
– 2x – 6y – 15 = 0 b.
2x
2
+ 2y
2
– 4x + 3y = 0 c.
3x
2
+ 3y
2
+ 30x + 72 = 0
Penyelesaian
a. x
2
+ y
2
– 2x – 6y – 15 = 0 x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 Maka diperoleh:
2A = –2 2B = –6
C = –15 A = –1
B = –3
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
120
r =
2 2
A B
C +
− =
2 2
1 3
15 −
+ − − −
=
1 9 15 25
+ + =
= 5 Jadi, pusat lingkaran 1, 3 dan jari-jari lingkaran = 5.
b. 2x
2
+ 2y
2
– 4x + 3y = 0 x
2
+ y
2
– 2x + 1
2 1
y = 0 x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 Maka diperoleh:
2A = –2 2B =
1 1
2
C = 0 A = –1
B = 3
4 r =
2 2
A B
C +
−
=
2 2
3 1
4 −
+ −
= 9
1 16
+ =
25 16
=
5 4
Jadi, pusat lingkaran 1, –
4 3
dan jari-jari lingkaran =
4 5
. c.
3x
2
+ 3y
2
+ 30x + 72 = 0 x
2
+ y
2
+ 10x + 24 = 0 x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 Maka diperoleh:
2A = 10 2B = 0
C = 24 A = 5
B = 0 r =
2 2
A B
C +
−
=
2 2
5 24
+ −
=
25 24 1
− =
= 1 Jadi, pusat lingkaran –5, 0 dan jari-jari lingkaran = 1.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik 3, –1, 5, 3, dan 6, 2 kemudian
tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran.
