97
Trigonometri
3.2
2. cos 67,5° =
cos 135 1
2 ° +
= cos 45
1 2
− ° +
=
1 2
1 2
2 −
+
= 2
2 4
− +
= 1
2 2
2 −
3. tan 22,5° =
sin 45 1 cos 45
° +
° = 1
2 2
1 1
2 2
+ =
2 2
2 2
2 +
=
2 2
2 2
2 ⋅
+
=
2 2
2 +
=
2 2
2 2
2 2 2
− ⋅
+ −
= 2 2
2 4 2
− −
= 2 2 1
2 −
=
2 1 −
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Diketahui sin A =
13 12
, 0 A
1 2
π a. Tentukan nilai dari sin 2A.
b. Tentukan nilai dari cos 2A. c. Tentukan nilai dari tan 2A.
2. Tanpa tabel logaritma dan kalkulator, hitunglah: a. 2 sin 75° cos 15°
b. sin 81
sin 15 sin 69
sin 171 ° +
° ° −
° 3. Jika sin A =
12 13
dan A terletak di kuadran II, tentukan nilai: a. sin 2A
b. cos 2A 4. Hitunglah:
a. sin 67,5° b. cos 22,5°
c. tan 15°
5. Jika cos 2A =
8 10
dan A sudut lancip, tentukan tan A.
Ingat
sin 180 – A° = sin A cos 180 – A° = –cos A
tan 180 – A° = –tan A
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
98 1. Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus
atau Cosinus
a. Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut cos A + B = cos A cos B – sin A sin B
cos A – B = cos A cos B + sin A sin B + cos A + B + cos A – B = 2 cos A cos B
Rumus: 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B
Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus perkalian cosinus dan cosinus.
Contoh soal
Nyatakan 2 cos 75° cos 15° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya.
Penyelesaian
2 cos 75° cos 15° = cos 75 + 15° + cos 75 – 15° = cos 90° + cos 60°
= 0 +
2 1
=
2 1
Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok. Kemudian, buktikan: sin 3A
= 3 sin A – 4 sin 3A cos 3A = 4 cos
3
A – 3 cos A tan 3A =
3 2
3 tan tan
1 3 tan A
A A
− −
Cocokkan dengan kelompok lain. Adakan tanya jawab materi yang sedang diberikan
B Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan
Cosinus
99
Trigonometri
b. Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut: cos A + B = cos A cos B – sin A sin B
cos A – B = cos A cos B + sin A sin B _ cos A + B – cos A –B = –2 sin A sin B atau
2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B Rumus:
2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B Agar lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Nyatakan 2 sin 67
2 1
° sin 22
2 1
° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya.
Penyelesaian
2 sin 67
2 1
° sin 22
2 1
° = cos 67
2 1
– 22
2 1
° – cos 67
2 1
+ 22
2 1
° = cos 45° – cos 90°
=
2 2
1
– 0 =
2 2
1
c. Perkalian Sinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut. sin A + B = sin A cos B + cos A sin B
sin A – B = sin A cos B – cos A sin B + sin A + B + sin A – B = 2 sin A cos B atau
2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B Dengan cara yang sama didapat rumus:
2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B 2 cos A sin B = sin A + B – sin A – B
Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus, palajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Nyatakan soal-soal di bawah ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudian tentukan hasilnya.
1. sin 105° cos 15°
2. sin
1 127
2 °
sin 1
97 2
°
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
100
3.3
Penyelesaian
1. sin 105° cos 15° =
2 1
{sin 105 + 15° + sin 105 – 15° } =
2 1
sin 120° + sin 90° =
2 1
3
2 1
+ 1 =
3 4
1
+
2 1
2. sin
1 127
2 °
sin 1
97 2
° =
2 1
2 sin 127
2 1
° sin 97
2 1
° =
2 1
{cos 127
2 1
° – 97
2 1
° – cos 127
2 1
° + 97
2 1
°} =
2 1
cos 30° – cos 225° =
2 1
cos 30° + cos 45° =
2 1
1 1
3 2
2 2
+
=
1 3
2 4
+
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Sederhanakanlah: a. 2 cos x + 50° cos x – 10°
b. 2 cos x + 20° sin x – 10° 2. Tentukan nilai dari:
a. cos 120° sin 60° b. sin 75° cos 15°
3. Tentukan nilai dari: a. 2 sin 52
2 1
° sin 7
2 1
° b. 2 cos 52
2 1
° cos 7
2 1
° 4. Tentukan nilai dari:
a. sin
12 5
π cos
12 1
π b. cos
6 11
π cos
6 1
π
101
Trigonometri
2. Penggunaan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut dalam Pemecahan Masalah
Untuk menentukan sudut-sudut selain 30°, 45°, 60° dan sebagainya sudut istimewa dapat digunakan tabel logaritma maupun kalkulator. Akan tetapi dapat juga digunakan
rumus jumlah dan selisih dua sudut istimewa.
a. Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.
2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B Misalkan:
A + B = α
A + B = α
A – B = β
+ A – B =
β _ 2A
= α + β
2B = α – β
A =
2 1
α + β B =
2 1
α – b Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B 2 cos
2 1
α + β cos
2 1
α – β = cos α + cos β atau
cos α + cos β = 2 cos
2 1
α + β cos
2 1
α – β Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.
Penyelesaian
cos 100° + cos 20° = 2 cos
2 1
100 + 20° cos
2 1
100 – 20° = 2 cos 60° cos 40°
= 2 ⋅
2 1
cos 40° = cos 40°
b. Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus 2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B, dengan memisalkan A + B =
α dan A – B = β, terdapat rumus: cos
α – cos β = –2 sin
2 1
α + β sin
2 1
α – β
