105
Trigonometri
2 cos x
⋅
0 – 2 sin x
⋅
1 = cos x
⋅
0 + sin x
⋅
1 0 – 2 sin x = 0 + sin x
–2 sin x – sin x = 0 –3 sin x = 0
sin x = 0 terbukti
4. Membuktikan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih dari Sinus dan Cosinus Dua Sudut
Kamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri memakai jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
1. Buktikan cos 75° – cos 15° = –
2 2
1
.
Bukti
cos 75° – cos 15° = –2 sin
2 1
75° + 15° sin
2 1
75° – 15° = –2 sin
2 1
⋅ 90° sin
2 1
⋅ 60° = –2 sin 45°
⋅ sin 30° = –2
2 2
1
⋅
2 1
= –
2 2
1
terbukti 2.
Buktikan sin
6 π
+ A + sin
6 π
– A = cos A
Bukti
Penyelesaian ruas kiri: sin
6 π
+ A + sin
6 π
– A = 2 sin
2 1
{
6 π
+ A +
6 π
– A} cos
2 1
{
6 π
+ A –
6 π
– A} = 2 sin
2 1
2
6 π
⋅ cos
2 1
2A = 2 sin
6 π
⋅ cos A = 2 ⋅
2 1
cos A = cos A
terbukti ruas kiri = ruas kanan
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
106 1. Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
Identitas adalah suatu persamaan yang selalu benar untuk konstanta yang manapun juga. Cara membuktikan identitas trigonometri dapat menggunakan:
a. rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut,
b. rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus,
c. rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.
Contoh soal
1. Buktikan:
2
1 cos 2 1 cos
A A
− −
= 2.
Bukti
Penyelesaian ruas kiri:
2
1 cos 2 1 cos
A A
− −
=
2 2
1 1 2 sin sin
A A
− −
3.4
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
Tanpa tabel trigonometri atau kalkulator buktikan bahwa: 1. cos 75° – cos 15° = –
2 2
1
2. sin 80° + sin 40° =
3
cos 20° 3. sin A + cos A =
2
cos A – 45° 4. tan 75° – tan 15° = 2
3
5. sin 55 sin 35
2 cos35
cos 25 °
° = −
° − °
cos 5° 6.
sin180 sin 21
3 sin 69
sin171 ° +
° = ° −
° 7. cos 10° + cos 110° + cos 130° = 0
8. cos 465° + cos 165° + sin 105° + sin 15° = 0
C Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan
Cosinus
107
Trigonometri
=
2 2
1 1 2sin sin
A A
− +
=
2 2
2sin sin
A A
= 2 Terbukti ruas kiri = ruas kanan.
2. Buktikan:
cos 3 cos 5
sin 3 sin 5
A A
A A
− +
= tan A
Bukti
Penyelesaian ruas kiri: cos 3
cos 5 sin 3
sin 5 A
A A
A −
+ =
1 1
2 2
1 1
2 2
–2 sin 3
5 sin 3 – 5
2 sin 3
5 cos 3 – 5
A A
A A
A A
A A
⋅ +
⋅ ⋅
+ ⋅
= –2 sin 4
sin 2 sin 4
cos A
A A
A ⋅
− ⋅
− =
– sin 4 sin
sin 4 cos
A A
A A
⋅ − ⋅
= sin 4
sin sin 4
cos A
A A
A ⋅
⋅ =
sin cos
A B
= tan A Terbukti ruas kiri = ruas kanan.
2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui sin A =
5 3
−
dan A terletak di kuadran IV. Tentukan nilai: 1.
sin 2A 2.
cos 2A 3.
tan 2A
Penyelesaian
1. sin 2A
= 2 sin A cos A = 2
5 3
− 5
4
= –
25 24
Ingat
sin A =
5 3
−
cos A =
5 4
tan A =
4 3
−
