107
Trigonometri
=
2 2
1 1 2sin sin
A A
− +
=
2 2
2sin sin
A A
= 2 Terbukti ruas kiri = ruas kanan.
2. Buktikan:
cos 3 cos 5
sin 3 sin 5
A A
A A
− +
= tan A
Bukti
Penyelesaian ruas kiri: cos 3
cos 5 sin 3
sin 5 A
A A
A −
+ =
1 1
2 2
1 1
2 2
–2 sin 3
5 sin 3 – 5
2 sin 3
5 cos 3 – 5
A A
A A
A A
A A
⋅ +
⋅ ⋅
+ ⋅
= –2 sin 4
sin 2 sin 4
cos A
A A
A ⋅
− ⋅
− =
– sin 4 sin
sin 4 cos
A A
A A
⋅ − ⋅
= sin 4
sin sin 4
cos A
A A
A ⋅
⋅ =
sin cos
A B
= tan A Terbukti ruas kiri = ruas kanan.
2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui sin A =
5 3
−
dan A terletak di kuadran IV. Tentukan nilai: 1.
sin 2A 2.
cos 2A 3.
tan 2A
Penyelesaian
1. sin 2A
= 2 sin A cos A = 2
5 3
− 5
4
= –
25 24
Ingat
sin A =
5 3
−
cos A =
5 4
tan A =
4 3
−
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
108
2. cos 2A
= 1 – 2 sin
2
A =
1 – 2
5 3
−
2
= 1 – 2
25 9
= 1 –
25 18
=
25 7
3. tan 2A
= sin 2
cos 2 A
A =
25 7
25 24
−
= –
25 24 ⋅
7 25
= –
7 24
3.5
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Diketahui α, β, dan γ menyatakan besar sudut-sudut dalam segitiga ABC. Dengan
tan α = –3 dan tan β = 1, tentukan tan γ.
2. Diketahui tan x =
3 4
, π x
2 3
π. Tentukan cos 3x + cos x. 3. Jika sin x =
α,
2 π
x π, tentukan cos x – tan x.
4. Jika 0 A π dan 0 B π memenuhi A + B =
3 2
π dan sin A = 2 sin B, tentukan A – B.
5. Diketahui cos A – B =
3 2
1
dan cos A cos B =
2 1
dengan A, B sudut lancip. Tentukan nilai
cos cos
A B
A B
− +
.
1. Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut:
a. cos A + B = cos A cos B – sin A sin B
b. cos A – B = cos A cos B + sin A sin B
c. sin A + B = sin A cos B + cos A sin B
d. sin A – B = sin A cos B – cos A sin B
109
Trigonometri
e. tan A + B =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ −
f. tan A – B =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ +
2. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut ganda.
a. sin 2A = 2 sin A cos A
b. cos 2A = cos
2
A – sin
2
A = 2 cos
2
A – 1 = 1 – 2 sin
2
A c.
tan 2A =
2
2 tan 1 tan
A A
− d.
sin 2
1 A = 2
cos 1
A −
e. cos 2
1 A =
2 1
cos +
A
f. tan
2 1 A =
A A
cos 1
sin +
g. tan
2 1 A =
A A
sin cos
1 −
3. Rumus-rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau
cosinus. a.
2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B b.
2 sin A sin B = cos A – B – cos A + B c.
2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B d.
2 cos A sin B = sin A + B – sin A – B 4.
Rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan untuk sinus, cosinus, dan tangen. a.
cos A + cos B = 2 cos 2
1 A + B cos 2
1 A – B b.
cos A – cos B = –2 sin 2
1 A + B sin 2
1 A – B c.
sin A + sin B = 2 sin 2
1 A + B cosA – B d.
sin A – sin B = 2 cos 2
1 A + B sin– B e.
tan A + tan B = cos
cos sin
2 B
A B
A B
A −
+ +
+
f. tan A – tan B =
cos cos
sin 2
B A
B A
B A
− +
+ −
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
110 I.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.
1. Diketahui sin A =
13 12
, sin B =
5 3
, dengan A dan B dikuadran I. Maka nilai cos A + B adalah ….
a. –
65 16
d.
65 16
b. –
25 7
e.
15 65
c.
25 7
2. Sin 30° = …..
a. –
4 1
d.
2 1
b. –
2 1
e. 1 c.
4 1
3. 2 sin 15° cos 15° = ….
a.
2 3
1
d.
3 2
1
b.
2 1
e. 1 c. –
2 2
1
4. Jika tan A =
2 1
dan tan B =
3 1
, maka tan A + B adalah …. a.
2 2
1
d.
3 3
1
b.
3 2
1
e. 1 c.
2 3
1
5. Sin 17° cos 13° + cos 17° sin 13° = ….
a.
2 1
d. 1 b.
2 2
1
e. 0 c.
3 2
1
