195
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
4. Jika diketahui fx = x
2
– 2x + 1, maka f
–1
4 adalah …… a. 3
b. 1 c. 0
d. –1 e. –3
5. Jika diketahui gx = x – 1 dan f gx = 2x
2
– 4x + 3, maka fungsi fx = …. a. x – 2
d. x
2
– 2x b. x + 2
e. x
2
+ 2x c. x
2
+ 2 6.
Jika f : R → R dan g : R → R dengan fx = x
2
dan gx = 3x + 1, maka fg2 = …. a. 13
b. 25 c. 37
d. 49 e. 81
7. Jika fx = x
2
dan f gx = x
2
– 2x + 1, maka g3 adalah …. a. 2
b. 4 c. 6
d. 7 e. 9
8. Jika fx =
1 x
x −
maka f
–1
x adalah …. a.
1 x
x −
b. 1
x x
+ c.
1 x
x −
d. 1
x x
+ e.
1 x
9. Misalkan fx = x + 2 untuk x 0 dan gx =
15 x
untuk x 0. Dengan demikian f
–1
g
–1
x = 1 untuk x = …. a. 1
b. 3 c. 5
d. 8 e. 10
10. Jika f
–1
x = 1
5 x
− dan g
–1
x = 3
2 x
− , maka f g
–1
6 = …. a. 1
b. 2 c. 6
d.
6 1
e.
10 1
11. Jika diketahui fx = x – 3 dan gx = 2x + 4, maka g f
–1
2 adalah …. a. –4
b. –2 c. 2
d. 4 e. 7
12. Diketahui fx = 3 + 2x, gx = 2 + x, dan hx = 2x. Bila f g h
–1
x = –1, maka nilai x adalah …..
a. 5 b. 3
c. 2 d. –3
e. –5 13. Jika diketahui fungsi fx =
5 3
2 1
x x
+ −
, x ≠
2 1
dan gx = 3x + 2 maka f
–1
gx adalah ….
a. 6
5 6
3 x
x −
− , x
≠
2 1
d. 3
5 6
1 x
x −
− , x
≠
6 1
b. 6
5 6
3 x
x +
− , x
≠
2 1
e. 3
5 6
1 x
x +
− , x
≠
6 1
c. 3
5 6
1 x
x +
+ , x
≠
6 1
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
196
14. Jika fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan fx =
1 1
x x
+ −
; x ≠ 0 dan
gx = x + 3, maka gfx
–1
= …. a.
2 3 1
x x
− −
b. 2 3
1 x
x +
+ c.
2 x
x −
d. 4
1 x
x −
e. 1
4 x
− 15. Jika fx =
1 x
dan gx = 2x – 1, maka f g
–1
x = …. a.
2 1
x x
− b.
2 1
x x
− c.
1 2
x x
− d.
1 2
x x
+ e.
2 1
x x
−
II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.
1. Perhatikan relasi-relasi yang ditunjukkan dengan diagram panah di bawah ini.
a. Manakah yang merupakan fungsi? b. Jika relasi merupakan fungsi, tentukanlah domain, kodomain, dan rangenya.
2. Diketahui fx = x
2
– 3x + 2 dan gx = x – 1. Tentukan: a. f + gx
c. f ⋅
gx b. f – gx
d.
f g
x
3. Diketahui f : R
→ R; g : R → R dengan fx = 2x
2
+ 1 dan gx = x + 2. Tentukan: a. g fx
c. g f1 b. f gx
d. f g–2 4.
Tentukan fungsi invers dari fungsi di bawah ini. a. fx = 3x + 10
b. fx = x – 3
2
c. fx = x
2
– 4x + 4 d. fx =
5 6
1 x
x −
+ , x
≠
6 1
5. Diketahui fx = 2x – 1 dan gx = 3x + 5. Tentukan:
a. f g
–1
x c. f g
–1
1 b. g f
–1
x d. g f
–1
–2
1 2
3 4
a b
c d
A B
a 1
2 3
4 a
b c
d A
B b
1 2
3 4
a b
c d
A B
c 1
2 3
4 a
b c
d A
B d
197
Limit Fungsi
7
Limit Fungsi
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-
rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah
29 5
= 5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-
kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar
dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.
Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga
;
Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu
;
Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
198
• limit fungsi
• limit fungsi tak hingga
• limit fungsi berhingga
• limit fungsi aljabar
• limit fungsi trigonometri
Limit Fungsi
Arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan
nilai-nilai di sekitar titik tersebut
Arti limit fungsi di tak hingga
Menghitung limit fungsi aljabar
Menghitung limit fungsi trigonometri
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri
Arti limit fungsi di tak hingga
199
Limit Fungsi
A Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak
Hingga
1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik Tersebut
Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh fx = 2x – 1. Jika variabel x
diganti dengan 3, maka f3 = 2
⋅
3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati fx jika variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai fx mendekati 5. Apakah nilai fx akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk
menjawabnya kita lihat tabel berikut ini.
Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai
fx mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi fx = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk x
mendekati 3 dan ditulis “jika fx = 2x – 1, maka
3
lim 2 1 5
x
x
→
− = ”. Grafiknya dapat kamu amati
pada gambar di samping. Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat
menentukan nilai dari
2 2
6 lim
2
x
x x
x
→
+ − −
. Nilai fx =
2
6 2
x x
x + −
− untuk x mendekati 2 dapat
disajikan dengan tabel sebagai berikut.
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f2 = yaitu suatu bentuk tak
tentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai fx mendekati 5. Demikian juga jika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai fx mendekati 5.
x …..
3,01 3,10
3,25 3,50
3,50 3,75
4,25 ….
fx …..
5,02 5,20
5,50 6,00
6,50 6,50
7,50 …..
x 1,5
1,75 2,5
2,75 2,85
2,95 2,97
2,98 2,99
…. fx
2 2,5
4 4,5
4,7 4,9
4,94 5,96
4,98 …..
Y
X
1 2 3 4
5
–1 –2
1 2
3
x 1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 …
2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,9 3,1
fx 3,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 … … 5,001 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
200
Oleh karena itu dapat ditulis:
2 2
6 lim
2
x
x x
x
→
+ − −
= 5 Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.
lim
x a
f x L
→
= artinya jika x mendekati a tetapi
x a ≠
maka fx mendekati nilai L.
2. Sifat-Sifat Limit Fungsi
Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x
→ a, a
∈ R maka berlaku: a.
lim
x a
k
→
= k b.
lim
x a
f x f a
→
= c.
lim lim
x a
x a
k f x k
f x
→ →
⋅ = ⋅
d. lim {
} lim
lim
x a
x a
x a
f x g x
f x g x
→ →
→
± =
± e.
{ }
lim lim
lim
x a
x a
x a
f x g x
f x g x
→ →
→
⋅ =
⋅ f.
lim lim
lim
x a
x a
x a
f x f x
g x g x
→ →
→
=
, untuk
lim
x a
g x
→
≠ g.
lim lim
n n
x a
x a
f x f x
→ →
= Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Diketahui fx = 2x – 5 dan gx = 3x
2
+ 4x . Tentukan: 1.
3 3
lim lim
x x
f x g x
→ →
+
2.
3
lim { }
x
f x g x
→
+
Penyelesaian
1.
3 3
lim lim
x x
f x g x
→ →
+
=
2 3
3
lim 2 5
lim 3 4
x x
x x
x
→ →
− + +
= 2
⋅
3 – 5 + 3
⋅
3
2
+ 4
⋅
3 = 6 – 5 + 3
⋅ 9 + 12
= 1 + 27 + 12 = 40
201
Limit Fungsi
2.
3
lim { }
x
f x g x
→
+ =
2 3
lim {2 5
3 4 }
x
x x
x
→
− + +
=
2 3
lim 3 6
5
x
x x
→
+ −
= 3 ⋅
3
2
+ 6 ⋅
3 – 5 = 3
⋅ 9 + 18 – 5
= 27 + 18 – 5 = 40
3. Limit Fungsi di Tak Berhingga
Diketahui fx =
2 x
. Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.
Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai fx makin lama makin kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x
→ ∞
, maka nilai
2 x
akan mendekati nol, dikatakan limit dari
2 x
untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis:
2 lim
x
x
→∞
= 0 Sekarang perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah 2
lim 1
x
x x
→∞
+ .
Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.
Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai 2
1 x
x +
akan mendekati 2. Dikatakan bahwa L =
2 lim
1
x
x x
→∞
+ = 2.
Limit fungsi yang berbentuk lim
x
f x g x
→∞
dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian pembilang fx dan bagian penyebut gx dengan x
n
, n adalah pangkat tertinggi dari fx atau gx untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:
lim
n x
a x
→∞
=
x 1
2 3
4 ….
10 ….
100 ….
200 …
fx 2
1 3
2 2
1 ….
5 1
…. 50
1 ….
1 1.000
…
x 1
2 3
…. 10
…. 100
…. 1.000 …
2 1
x x
+ 1 3
4 2
3 ….
11 20 ….
101 200 …. 2.000
1.001 …
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
202
Dari contoh itu dapat ditulis: 2
lim 1
x
x x
→∞
+ =
2 lim
1
x
x x
x x
→∞
+ pembilang, penyebut dibagi x
= lim
2 1
1
x
x
→∞
+
1 lim
x
x
→∞
=
=
2 1 0
+ =
2 1
= 2
Contoh soal
Hitunglah limit dari: 1.
2
3 1
lim 5
3
x
x x
x
→∞
− +
− 3.
2
4 2
1 lim
5 4
x
x x
x
→∞
+ +
− 2.
2 2
2 5
lim 3
2
x
x x
x x
→∞
− + −
+
Penyelesaian
1.
2
3 1
lim 5
3
x
x x
x
→∞
− +
− =
2 2
2
3 1
lim 5
3
x
x x
x x
x
→∞
− +
− pembilang dan penyebut dibagi x
2
=
2 2
2 2
2 2
3 1
lim 5
3
x
x x
x x
x x
x
→∞
− +
−
=
2 2
3 1
lim 5
3 1
x
x x
x x
→∞
− + −
= 0 0
1 0 0 1
− =
+ − = 0
2.
2 2
2 5
lim 3
2
x
x x
x x
→∞
− + −
+ =
2 2
2 2
2 5
lim 3
2
x
x x
x x
x x
→∞
− + −
+ pembilang dan penyebut dibagi x
2
=
2 2
2 2
2 2
2 2
2 5
lim 3
2
x
x x
x x
x x
x x
x x
→∞
− +
− +
=
2 2
5 1
2 lim
3 2
1
x
x x
x x
→∞
− + − +
= 2 0
2 1 0
1 − + =
− + = 2
203
Limit Fungsi
3.
2
4 2
1 lim
5 4
x
x x
x
→∞
+ +
− =
2 2
2
4 2
1 lim
5 4
x
x x
x x
x
→∞
+ +
− pembilang dan penyebut dibagi x
2
=
2 2
2 2
2 2
4 2
1 lim
5 4
x
x x
x x
x x
x x
→∞
+ +
− =
2 2
2 1
4 lim
5 4
x
x x
x x
→∞
+ + −
= 4
0 0 4
0 0 + + =
− =
∞
Bentuk 4
adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 4
bukan angka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekali
hasilnya besar sekali atau
∞
. Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari
lim
x
f x g x
→∞
adalah sebagai berikut.
1. Jika derajat dari pembilang fx lebih besar daripada derajat penyebut gx, maka
nilai lim
x
f x g x
→∞
=
∞
. 2.
Jika derajat dari pembilang fx sama dengan derajat penyebut gx, maka nilai lim
x
f x g x
→∞
= real. 3.
Jika derajat dari pembilang fx lebih kecil daripada derajat penyebut gx, maka nilai
lim
x
f x g x
→∞
= 0. Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh berikut.
Contoh soal
Hitunglah limit berikut. 1.
3 2
lim 1
1
x
x x
x x
→∞
−
−
+
2.
2 2
lim 2
4
x
x x
x x
→∞
+ −
−
Penyelesaian
1. 3
2 lim
1 1
x
x x
x x
→∞
−
−
+
=
3 1
2 1
lim 1
1
x
x x x x
x x
→∞
+ − −
− +
=
2 2
2
3 3
2 2
lim 1
x
x x
x x
x
→∞
+ −
+
−
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
204
=
2 2
5 lim
1
x
x x
x
→∞
+ −
=
2 2
2 2
5 lim
1
x
x x
x x
x
→∞
+ −
pembilang dan penyebut dibagi x
2
=
2 2
2 2
2 2
5 lim
1
x
x x
x x
x x
x
→∞
+ −
=
2
5 1
lim 1
1
x
x x
→∞
+ −
= 1 0
1 1 0
+ = −
2.
2 2
lim 2
4
x
x x
x x
→∞
+ −
−
=
2 2
2 2
2 2
2 4
lim 2
4 2
4
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
→∞
+ +
− +
− −
⋅ +
+ −
=
2 2
2 2
2 2
2 4
lim 2
4
x
x x
x x
x x
x x
→∞
+ −
− +
+ −
=
2 2
2 2
2 4
lim 2
4
→∞
+ −
− +
+ −
x
x x
x x
x x
x x
=
2 2
2 2
2 4
2 4
lim 1
1
x
x x
x x
x x
x x
→∞
+ −
+ +
+ −
=
2 4
6 lim
1 1
x
x x
x x
→∞
+ + −
=
2 4
6 lim
1 1
x
x x
→∞
+ + −
= 6
1 0 1 0
+ + −
= 6
1 1
+ =
6 2
= 3
205
Limit Fungsi
7.1
1. Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Perhatikan fungsi fx = 2x pada tabel di bawah ini.
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.
1. a. Gambarlah grafik fx = 3x – 5. b. Lengkapilah tabel berikut.
c. Carilah nilai
1
lim 3
5
x
f x x
→
= −
. 2. Lengkapilah tabel berikut.
3. Carilah limit-limit berikut. a.
2 5
lim 1
x
x x
→∞
+ −
c.
2
2 1
lim 3
x
x x
x
→∞
− +
+ b.
2
2 lim
1
x
x x
x
→∞
+ + −
4. Carilah limit-limit berikut. a.
3 1
lim 3
5
x x
x →∞
− +
b.
2
5 2
lim
x
x x
→∞
− 5. Carilah limit-limit berikut.
a.
2
lim 4
x
x x
x
→∞
+ −
b.
2
lim 6
4
x
x x
x
→∞
+ − −
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 … 0,99 1 1,001 … 1,01 1,2 1,3
fx = 3x – 5
x 1,0 1,1 …. 1,9 1,999 2 2,001 2,002 …. 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
fx =
2
4 2
x x
− −
B Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak
Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
x 0 1,5 1,7 2 2,5 2,6 2,75 2,85 2,95 2,98 2,999 …. 3
fx = 2x 1
3 3,5 4 5
5,2 5,5 5,70 5,90 5,96 5,998 … 6
