Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
162
Jika x = k, maka: f k = k – k
⋅ hk
= 0
⋅
hk = 0
Jadi, fk = 0 jika dan hanya jika x – k merupakan faktor dari fx terbukti.
Contoh soal
Hitunglah p jika 2x
3
– 5x
2
– 4x + p habis dibagi x + 1.
Penyelesaian
Karena 2x
3
– 5x
2
– 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0, sehingga: fx = 2x
3
– 5x
2
– 4x + p f–1 = 2 –1
3
– 5 –1
2
– 4 –1 + p 0 = –2 – 5 + 4 + p
0 = –3 + p p = 3
Jadi, p = 3.
1. Menentukan Akar Rasional
Jika diketahui suatu suku banyak fx dan x – a adalah faktor dari fx, maka a adalah akar dari persamaan fx atau fa = 0.
2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Suku Banyak
a. Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax
2
+ bx + c = 0
Jika x
1
dan x
2
adalah akar-akar persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0, maka: 1
x
1
+ x
2
= –
b a
2 x
1
⋅
x
2
=
c a
b. Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Jika x
1
, x
2
, dan x
3
adalah akar-akar persamaan ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, maka: 1
x
1
+ x
2
+ x
3
= –
b a
2 x
1
⋅ x
2
+ x
2
⋅ x
3
+ x
1
⋅ x
3
=
c a
3 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –
d a
C. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
163
Suku Banyak
c. Untuk Suku Banyak Berderajat Empat: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0
Jika x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
adalah akar-akar persamaan suku banyak ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0, maka:
1 x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= –
b a
2 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
+ x
2
⋅ x
3
⋅ x
4
+ x
3
⋅ x
4
⋅ x
1
+ x
4
⋅ x
1
⋅ x
2
=
c a
3 x
1
⋅
x
2
+ x
1
⋅
x
3
+ x
1
⋅
x
4
+ x
2
⋅
x
3
+ x
2
⋅
x
4
+ x
3
⋅
x
4
= –
d a
4 x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
⋅
x
4
=
e a
Contoh soal
1. Jika salah satu akar dari suku banyak x
3
+ 4x
2
+ x – 6 = 0 adalah x = 1, tentukanlah akar-akar yang lain.
Penyelesaian
1 1
4 1
–6 1
5 6
1 5
6 karena f1 = 0, maka x = 1 adalah akar persamaan fx = 0
x
3
+ 4x
2
+ x – 6 = 0 x – 1x
2
+ 5x + 6 = 0 x – 1x + 2 x + 3 = 0
Jadi, akar yang lain adalah x = –2 dan x = –3. 2.
Diketahui x
1
, x
2
, dan x
3
adalah akar-akar persamaan 2x
3
– bx
2
– 18x + 36 = 0. Tentukan:
a. x
1
+ x
2
+ x
3
b. x
1
⋅ x
2
+ x
1
⋅ x
3
+ x
2
⋅ x
3
c. x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
d. nilai b, jika x
2
adalah lawan dari x
1
e. nilai masing-masing x
1
, x
2
, dan x
3
untuk b tersebut
Penyelesaian
a. 2x
3
– bx
2
– 18x + 36 = 0 a = 2
c = –18 b = –b
d = 36 x
1
+ x
2
+ x
3
=
b a
= –
2 b
…………..1 b.
x
1
⋅
x
2
+ x
2
⋅
x
3
+ x
1
⋅
x
3
=
c a
=
2 18
−
= –9 ……….. 2 c.
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
=
d a
−
=
2 36
−
= –18 ……….. 3
+
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
164
d. Dari 1:
x
1
+ x
2
+ x
3
=
− 2
b
x
1
+ –x
1
+ x
3
=
− 2
b
x
3
=
− 2
b
Dari 3 x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –18 untuk x
1
= 3, maka x
2
= –3
→
x
1
⋅
x
2
⋅
x
3
= –18 3
⋅ –3
⋅ x
3
= –18 –9x
3
= –18 x
1
+ x
2
+ x
3
=
− 2
b
x
3
= 2 3 + –3 + 2 =
− 2
b
2 =
− 2
b
4 = –b
⇒ b = –4
Untuk x
1
= –3, maka x
2
= 3 → x
1
⋅ x
2
⋅ x
3
= –18 –3
⋅
3
⋅
x
3
= –18 –9
⋅ x
3
= 18 x
3
= –2 , maka b = 4 e.
x
1
= 3, x
2
= –3, dan x
3
= 2 untuk b = –4 atau x
1
= –3 , x
2
= 3, dan x
3
= –2 untuk b = 4 Dari 2:
x
1
–x
1
+ –x
1
x
3
+ x
1
x
3
= –9 –x
1 2
– x
1
x
3
+ x
1
x
3
= –9 –x
1 2
= –9 x
1 2
= 9 x
1 2
= 9 → x
1
= 3 atau x
1
= –3
5.6
Kerjakan soal-soal di bawah ini
1. Tentukan faktor dari: a. x
3
+ x
2
– 2 = 0 b. 2x
3
– x
2
– 5x – 2 = 0 c. 2x
3
– 11x
2
+ 17x – 6 = 0 2. Tentukan faktor dari suku banyak berikut.
a. 8x
3
– 6x
2
– 59x + 15 = 0 b. 2x
3
– 5x
2
– 28x + 15 = 0 c. 2x
3
– 7x
2
– 17x + 10 = 0
