Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 160 Contoh soal Jika fx dibagi oleh x 2 – 5x + 6 sisanya 2x + 1. Tentukan sisanya jika fx dibagi oleh x – 3. Penyelesaian fx = x 2 – 5x + 6 hx + S fx = x – 3x – 2 hx + 2x + 1 f3 = 3 – 33 – 2 h3 + 2 ⋅ 3 + 1 f3 = 0 + 6 + 1 Jadi, sisanya adalah 7. 2 Pembuktian teorema sisa 2 Teorema sisa 2 menyatakan bahwa jika fx dibagi ax + b, maka sisa pembagiannya adalah f b a − . Perhatikanlah uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut. Diketahui fx = ax + b ⋅ h x a + S. Karena pada fx = ax + b ⋅ h x a + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika nilai x = b a − akan diperoleh: fx = ax + b h x a + S f b a − = { } − − ⋅ + + b h a b a b S a a f b a − = –b + b b h a S a − + f b a − = 0 b h a S a − + f b a − = 0 + S f b a − = S Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian adalah f b a − . Contoh soal Jika fx habis dibagi x – 2 dan jika dibagi 2x + 1 sisanya 5. Tentukan sisanya jika fx dibagi 2x 2 – 3x – 2. Penyelesaian Misalkan fx dibagi 2x 2 – 3x – 2, hasil baginya hx dan sisanya ax + b. fx = 2x 2 – 3x – 2 hx + S fx = x – 22x + 1 hx + ax + b 161 Suku Banyak f2 = 2 – 2 2 ⋅ 2 + 1 h2 + 2a + b f2 = 0 ⋅ h2 + 2a + b 0 = 2a + b ⇔ 2a + b = 0 ….. 1 f– 2 1 = – 2 1 – 22 – 2 1 + 1 h– 2 1 + a – 2 1 + b f– 2 1 = – 2 1 – 2–1 + 1 h– 2 1 – 2 1 a + b 5 = 0 h– 2 1 – 2 1 a + b 5 = – 2 1 a + b ⇔ –a + 2b = 10 ….. 2 Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh: 2a + b = 0 | ×1 | ⇒ 2a + b = 0 –a + 2b = 10 | ×2 | ⇒ –2a + 4b = 20 0 + 5b = 20 b = 4 b = 4 disubstitusikan ke persamaan 1 2a + b = 0 2a + 4 = 0 2a = –4 a = –2 Jadi, sisanya adalah –2x + 4. + Bagilah kelasmu menjadi beberapa kelompok, kemudian buktikanlah teorema sisa 3 berikut ini. Jika suatu suku banyak fx dibagi x – ax – b, maka sisanya adalah px + q di mana fa = pa + q dan fb = pb + q. Catat dan bacakanlah hasilnya di depan kelompokmu. Adakanlah tanya jawab tentang materi yang sedang dibahas.

b. Pembuktian Teorema Faktor

Teorema faktor menyatakan bahwa jika fx suatu suku banyak, maka x – h merupakan faktor dari fx jika dan hanya jika fh = 0. Perhatikanlah uraian berikut ini untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut. Diketahui menurut teorema sisa fx = x – k ⋅ hx + fk. Jika fk = 0, maka fx = x – k ⋅ hx. Sehingga x – k merupakan faktor dari fx. Sebaliknya, jika x – k merupakan faktor dari fx, maka fx = x – k ⋅ hx. Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 162 Jika x = k, maka: f k = k – k ⋅ hk = 0 ⋅ hk = 0 Jadi, fk = 0 jika dan hanya jika x – k merupakan faktor dari fx terbukti. Contoh soal Hitunglah p jika 2x 3 – 5x 2 – 4x + p habis dibagi x + 1. Penyelesaian Karena 2x 3 – 5x 2 – 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0, sehingga: fx = 2x 3 – 5x 2 – 4x + p f–1 = 2 –1 3 – 5 –1 2 – 4 –1 + p 0 = –2 – 5 + 4 + p 0 = –3 + p p = 3 Jadi, p = 3.

1. Menentukan Akar Rasional

Jika diketahui suatu suku banyak fx dan x – a adalah faktor dari fx, maka a adalah akar dari persamaan fx atau fa = 0.

2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Suku Banyak

a. Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax

2 + bx + c = 0 Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, maka: 1 x 1 + x 2 = – b a 2 x 1 ⋅ x 2 = c a

b. Untuk Suku Banyak Berderajat Tiga: ax

3 + bx 2 + cx + d = 0 Jika x 1 , x 2 , dan x 3 adalah akar-akar persamaan ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, maka: 1 x 1 + x 2 + x 3 = – b a 2 x 1 ⋅ x 2 + x 2 ⋅ x 3 + x 1 ⋅ x 3 = c a 3 x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = – d a

C. Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak