Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
82 I.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar.
1. Dari 5 pria dan 4 wanita akan dipilih 3 pria dan 3 wanita. Banyak cara memilih ada ....
a. 60 d. 20
b. 40 e. 18
c. 24 2.
Banyak sepeda motor yang memakai nomor polisi dengan susunan angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 dan terdiri atas lima angka tanpa berulang adalah ….
a. 40 d. 240
b. 60 e. 400
c. 120 3.
Nilai n yang memenuhi 1
− n
n = 6 adalah ….
a. 2 d. 5
b. 3 e. 6
c. 4 9. Frekuensi harapan munculnya kejadian A dalam n kali percobaan adalah:
F
h
= PA × n 10. Kejadian majemuk
Peluang kejadian A atau kejadian B dinotasikan PA∪B adalah: PA∪B = PA + PB – PA∩B
Jika A∩B = ∅, maka disebut kejadian saling lepas atau saling asing, sehingga: PA∪B = PA + PB
11. Kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas apabila: PA∩B = PA × PB
12. Kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat apabila:
PAB =
P A B
P B ∩
dengan syarat PB ≠ 0 atau PBA =
P A B
P A ∩
dengan syarat PA ≠ 0
83
Peluang
4. Suatu rapat diikuti 7 orang yang duduk mengelilingi meja bundar. Banyak cara duduk
adalah …. a. 270
d. 4.050 b. 460
e. 5.040 c. 720
5. Koefisien suku yang memuat x
5
dari x + y
8
adalah …. a. 20
d. 64 b. 28
e. 128 c. 56
6. Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil
3 kelereng sekaligus secara acak. Banyak cara terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng kuning adalah ….
a. 103 d. 106
b. 104 e. 108
c. 105 7.
Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah
17 30
maka peluang kejadian tidak hujan dalam kurung waktu 30 hari adalah ….
a.
12 30
d.
15 30
b.
13 30
e.
16 30
c.
14 30
8. Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8
atau 5 adalah …. a.
5 19
d.
1 9
b.
1 4
e.
2 9
c.
5 26
9. Tiga uang logam dilempar bersama-sama. Jika A adalah kejadian muncul tepat dua
angka, maka PA adalah …. a.
3 4
d.
3 8
b.
1 8
e.
5 8
c.
2 8
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
84
10. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah ….
a.
6 36
d.
3 36
b. 5
36 e.
1 36
c.
4 36
11. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ….
a. 5
36 d.
9 36
b.
7 36
e.
11 36
c. 8
36 12. Kotak pertama berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak kedua berisi 2 bola merah
dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah ….
a.
1 8
d.
9 16
b.
5 16
e.
7 8
c.
7 16
13. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu yang bukan As adalah ….
a.
1 52
d.
3 13
b.
1 13
e.
48 52
c.
5 52
14. Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak 600 kali, frekuensi harapan munculnya bilangan prima adalah ….
a. 250 d. 450
b. 300 e. 500
c. 325 15. Jika berlaku
n
C
4
=
n
P
3
maka nilai n adalah …. a. 9
d. 27 b. 12
e. 35 c. 15
85
Peluang
16. Pada suatu tiang diikatkan bendera 4 buah berwarna merah, 2 biru, dan 2 hijau. Setiap susunan mempunyai arti yang berbeda. Banyaknya susunan yang mungkin adalah ….
a. 70 d. 280
b. 90 e. 420
c. 240 17. Dari 10 peserta olimpiade matematika yang masuk nominasi akan dipilih 3 nominasi
terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah …. a. 10
d. 120 b. 20
e. 720 c. 40
18. Dalam suatu pertemuan ada 30 orang dan saling berjabat tangan. Banyak cara jabat tangan yang terjadi adalah ….
a. 435 d. 875
b. 455 e. 885
c. 870 19. Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 bola putih, dan 8 bola biru. Apabila 3 bola diambil
sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola putih dan 1 bola merah adalah …. a.
55 204
d.
3 68
b.
5 204
e.
6 17
c.
7 102
20. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu bridge. Peluang terambil kartu As atau kartu warna merah adalah ….
a.
4 54
d.
28 52
b.
10 52
e.
30 52
c.
26 52
II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.
1. Dari lima buah angka 1, 2, 3, 4, 5 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas tiga
angka. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun jika angka-angka itu: a. boleh ada yang sama,
b. tidak boleh ada yang sama.
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
86
2. Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong itu diambil
3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan, jika kelereng yang diambil adalah:
a. ketiganya berwarna merah, b. ketiganya berwarna kuning,
c. 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning?
3. Terdapat 10 bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil 2 bola secara acak dari
kartu itu, berapa peluang terambil 2 bola dengan nomor bilangan prima? 4.
Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, tentukan peluang kejadian mata dadu yang muncul berjumlah lebih dari 4.
5. Dalam pelemparan dua buah dadu sekaligus, tentukan peluang keluarnya jumlah kedua
mata dadu sama dengan 5 atau jumlah kedua mata dadu sama dengan 10. 6.
Tentukan banyaknya susunan yang berbeda dapat dibuat dari kata: a. BUKU
b. RATARATA c. LIMIT
d. KALKULUS 7.
Tentukan n jika: a.
n + 3
P
2
= 56, b. 4
n
P
3
= 24
n
C
4
. 8.
Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika PA =
1 3 dan PA
∪B =
3 5
, hitunglah PB. 9.
Tentukan koefisien suku ke-5 dari –2x – y
7
. 10. Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah dan 8 buah bola putih. Jika sebuah bola
diambil dari dalam kotak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, tentukan peluang yang terambil kedua-duanya bola merah.
87
Trigonometri
3
Trigonometri
Pernahkah kamu berpikir untuk mencocokkan apakah betul tinggi monumen nasional Monas ±130 meter? Untuk membuktikannya, kamu dapat menerapkan
konsep trigonometri yaitu menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingan trigonometri. Caranya dengan mengukur besarnya sudut yang terbentuk oleh garis
pandang pengamat ke puncak Monas melalui garis horizontal. Misalnya jika pengamat berada pada sudut 30°, maka pengamat harus berjalan mendekati Monas sampai
terbentuk sudut 45°. Apabila jarak dari tempat pengamatan pertama sejauh 1 km, maka dengan aturan sudut ganda pengamat dapat menentukan tinggi Monas. Nah,
pada bab ini kamu akan mempelajari rumus trigonometri dan penggunaannya.
Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih
;
Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus
;
Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus
;
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
88
• sinus jumlah dan selisih sudut • cosinus jumlah dan selisih sudut
• tangen jumlah dan selisih sudut • perkalian sinus dan cosinus
• sinus sudut ganda • cosinus sudut ganda
• identitas trigonometri
Menyelesaikan masalah yang melibatkan rumus
jumlah dan selisih dua sudut
Merancang dan membuktikan identitas
trigonometri
Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dari sinus dan cosinus dua sudut
Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus
dan cosinus
Perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah
atau selisih sinus atau cosinus
Menggunakan rumus trigonometri dan selisih
dua sudut dalam pemecahan masalah
Membuktikan rumus trigonometri dari sinus
dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut
Menggunakan rumus sinus, cosinus, dan
tangen sudut ganda Rumus cosinus
jumlah dan selisih dua
sudut Rumus sinus
jumlah dan selisih dua
sudut Rumus tangen
jumlah dan selisih dua
sudut Menurunkan rumus
jumlah dan selisih sinus dan cosinus
Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah
dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda
Trigonometri
89
Trigonometri
A Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua
Sudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Sebelum membahas rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamu ingat kembali pelajaran di kelas X. Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:
sin α
= sisi di depan sudut
sisi miring A
= BC
AC
cos α =
sisi di dekat sudut sisi miring
A =
AB AC
tan α =
sisi di depan sudut sisi di dekat sudut
A A
= BC
AB Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping.
Dari lingkaran yang berpusat di O0, 0 dan berjari-jari 1 satuan misalnya,
∠
AOB =
∠
A
∠
BOC =
∠
B maka
∠ AOC =
∠
A +
∠
B Dengan mengingat kembali tentang koordinat
Cartesius, maka: a.
koordinat titik A 1, 0 b.
koordinat titik B cos A, sin A c.
koordinat titik C {cos A + B, sin A + B} d.
koordinat titik D {cos –B, sin –B} atau cos B, –sin B AC = BD maka AC
2
= DB
2
{cos A + B – 1}
2
+ {sin A + B – 0}
2
= {cos B – cos A}
2
+ {–sin B – sin A}
2
cos
2
A + B – 2 cos A + B + 1 + sin
2
A + B = cos
2
B – 2 cos B cos A + cos
2
A + sin
2
B + 2 sin B sin A + sin
2
A 2 – 2 cos A + B = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos A + B = 2 cos A cos B – sin A sin B cos A + B = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut: cos A + B = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka: cos A – B = cos A + –B
cos A – B = cos A cos –B – sin A sin –B cos A – B = cos A cos B + sin A sin B
A B
C
D
–B B
A
O X
Y
A B
C
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
90
Rumus cosinus selisih dua sudut: cos A – B = cos A cos B + sin A sin B
Untuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Diketahui cos A = 13
5 dan sin B =
25 24 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos A + B dan
cos A – B.
Penyelesaian
cos A = 13
5 , maka sin A =
13 12
sin B = 25
24 , maka cos B = 25
7 cos A + B = cos A
⋅
cos B – sin A
⋅
sin B =
13 5 ⋅
25 7
– 13
12 ⋅ 25
24 =
325 253
325 288
325 35
− =
− cos A – B = cos A
⋅ cos B + sin A ⋅ sin B =
5 7
12 24 13 25
13 25 ⋅
+ ⋅
= 35
288 325
325 +
= 323
325
2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini. sin A + B
= cos {
2 π
– A + B} = cos
2 π
– A – B = cos {
2 π
– A – B} = cos
2 π
– A cos B + sin
2 π
– A sin B = sin A cos B + cos A sin B
Maka rumus sinus jumlah dua sudut: sin A + B = sin A cos B + cos A sin B
Ingat
Sudut A dan B lancip, maka sin A =
13 12
⇒
cos B = 25
7 cos A =
13 5
⇒
sin B = 25
24
91
Trigonometri
Dengan cara yang sama, maka: sin A – B
= sin {A + –B} = sin A cos –B + cos A sin –B
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut: sin A – B = sin A cos B – cos A sin B
Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami tentang penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
Contoh soal
Diketahui cos A = – 5
4 dan sin B = 13
5 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin A + B dan
sin A – B.
Penyelesaian
cos A = – 5
4 , maka sin A = 5
3 kuadran II
sin B = 13
5 , maka cos B = –
13 12
kuadran II sin A + B
= sin A cos B + cos A sin B
= 5
3 ⋅ – 13
12 + – 5
4 ⋅
13 5
= 65
56 65
20 65
36 −
= −
− sin A – B
= sin A cos B – cos A sin B
= 3
12 4
5 5
13 5
13
⋅ − − −
⋅
=
36 20
65 65
− +
= 16
65 −
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
tan A + B =
sin cos
A B
A B
+ +
= sin
cos cos
sin cos
cos sin
sin A
B A
B A
B A
B +
−
= 1
sin cos
cos sin
cos cos
cos cos
sin sin
1 cos
cos A
B A
B A
B A
B A
B A
B +
⋅ ⋅
− ⋅
Ingat
Jika sudut A dan B tumpul, sin A =
5 3
⇒
cos A = – 5
4 sin B =
13 5
⇒
cos B = – 13
12
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
92
= sin
cos cos
sin cos
cos cos
cos sin
sin cos
cos A
B A
B A
B A
B A
B A
B +
−
= sin
cos cos
sin cos
cos cos
cos cos
cos sin
sin cos
cos cos
cos A
B A
B A
B A
B A
B A
B A
B A
B +
−
= sin
sin cos
cos sin
sin 1
cos cos
A B
A B
A B
A B
+ −
⋅ =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ −
Rumus tangen jumlah dua sudut: tan A + B =
tan tan
1 tan tan
A B
A B
+ −
tan A – B = tan
tan 1 tan
tan A
B A
B −
+ Pelajarilah contoh soal berikut agar kamu memahami penggunaan rumus tangen jumlah
dan selisih dua sudut.
Contoh soal
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian
tan 105° = tan 60 + 45° = tan 60
tan 45 1 tan 60 tan 45
° + °
− °
° =
3 1 1
3 +
−
=
3 1 1 3
1 3
1 3
+ +
× −
+
=
2 2
3 3 1
3 1
3 + + +
− =
4 2 3
1 3 +
− = =
4 2 3
2 +
− = –2 +
3
3.1
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih sudut berikut. a. sin 105°
b. sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°
