Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
132
4.3
Penyelesaian
Persamaan garis kutub di 5, 1 adalah sebagai berikut: x
1
x + y
1
y = r
2
5x + y = 13 y = 13 – 5x
y = 13 – 5x
Persamaan garis y = 13 – 5x disubstitusikan dengan lingkaran x
2
+ y
2
= 13 diperoleh: x
2
+ y
2
= 13 x
2
+ 13 – 5x
2
= 13 x
2
+ 169 – 130x + 25x
2
= 13 26x
2
– 130x + 156 = 0 x
2
– 5x + 6 = 0 x – 2 x – 3 = 0
x = 2 atau x = 3 Untuk x = 2, maka y = 13 – 5x
= 13 – 5
⋅
2 = 13 – 10 = 3
Diperoleh titik singgung 2, 3. Jadi, persamaan garis singgung melalui 2, 3 adalah 2x + 3y = 13.
Untuk x = 3, maka y = 13 – 5x = 13 – 5
⋅ 3
= 13 – 15 = –2 Diperoleh titik singgung 3, –2.
Jadi, persamaan garis singgung melalui 3, –2 adalah 3x – 2y = 13.
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini. a. x
2
+ y
2
= 9 di titik 2, –5 c. x
2
+ y
2
= 4 di titik –4, –7 b. x
2
+ y
2
= 16 di titik –3, 4 d. x
2
+ y
2
= 12 di titik 5, 6 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik-titik berikut ini.
a. x – 4
2
+ y + 3
2
= 36 di titik –2, 1 b. x + 2
2
+ y – 3
2
= 9 di titik –2, 6 c. x – 1
2
+ y + 5
2
= 7 di titik 3, –2 d. x + 5
2
+ y – 2
2
= 10 di titik 4, 3
133
Lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
Untuk persamaan garis singgung y = mx + n ⇒ x
2
+ mx + n
2
= r
2
⇔ x
2
+ m
2
x
2
+ 2mnx + n
2
– r
2
= 0 ⇔ 1 + m
2
x
2
+ 2mnx + n
2
– r
2
= 0 Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga
2mn
2
– 41 + m
2
n
2
– r
2
= 0 4m
2
n
2
– 4n
2
+ m
2
n
2
– r
2
– m
2
r
2
= 0 :4 m
2
n
2
– n
2
– m
2
n
2
+ r
2
+ m
2
r
2
= 0 ⇔ n
2
= r
2
+ m
2
r
2
⇔ n
2
= r
2
1 + m
2
⇔
n = ± r
2
1 m +
Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x
2
+ y
2
= r adalah: y = mx ± r
2
1 m +
3. Tentukan persamaan garis singgung di titik-titik berikut ini. a. x
2
+ y
2
+ 8x – 6y + 9 = 0 di titik –2, 5 b. x
2
+ y
2
– 4x – 8y + 17 = 0 di titik 3, 6 c. 2x
2
+ y
2
+ 8x + 4y – 16 = 0 di titik –5, –3 d. 3x
2
+ 3y
2
– 6x – 9y – 3 = 0 di titik –1, 2 4. Tentukan p:
a. jika garis y = p + 6 menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 b. jika garis y = 2x – 5 menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= p
2
c. jika lingkaran x
2
+ y
2
+ 2py + q = 0 mempunyai jari-jari 2 akan menyinggung garis y = x
d. jika lingkaran x
2
+ y
2
+ 6x + 8y – p = 0 menyinggung garis 3x – 4y = 0 5. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik 4, 2 di luar lingkaran
x
2
+ y
2
= 10 6. Diketahui titik A1, 4 di luar lingkaran x
2
+ y – 1
2
= 2. a. Tentukan persamaan garis kutub lingkaran dari titik A.
b. Jika P dan Q titik potong garis kutub dengan lingkaran, tentukan persamaan garis singgung melalui titik P dan Q.
c. Tentukan sketsa gambarnya.
=
+ +
=
2 2
2
r y
x n
mx y
