Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
150 3. Hasil Bagi dan Sisa Pembagian Suku Banyak
a. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear ax + b
Pembagian suku banyak dengan pembagi x – k yang telah kamu pelajari, dapat dijadikan dasar perhitungan pembagian suku banyak dengan pembagi ax + b.
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah uraian berikut ini.
Suku banyak fx dibagi x – k menghasilkan hx sebagai hasil bagi dan fk sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga fx = x – k hx + fk. Pembagian
suku banyak fx dibagi ax + b, dapat diubah menjadi bentuk fx dibagi
x –
b a
−
. Berarti, nilai k =
b a
−
, sehingga pada pembagian suku banyak fx tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
fx =
b b
x h x
f a
a
− −
⋅ +
−
=
b b
x h x
f a
a +
⋅ +
− fx
= 1
a ax + b
⋅ hx + f
b a
−
fx =
ax + b ⋅
h x a
+ f
b a
−
Suku banyak fx dibagi ax + b menghasilkan
h x a
sebagai hasil bagi dan f
b a
− sebagai sisa pembagian, sehingga fx = ax + b
⋅ h x
a + f
b a
− .
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner. 1.
fx = 2x
3
+ x
2
+ 5x – 1 dibagi 2x – 1 2.
fx = 2x
3
+ x
2
+ x + 10 dibagi 2x + 3
Penyelesaian
1. fx = 2x
3
+ x
2
+ 5x – 1 dibagi 2x – 1 dengan cara horner sebagai berikut. 2
1 2
1 5
–1 1
1 3
2 2
6 2
hasil bagi sisa
Ingat
Ingat
Karena pembaginya 2x – 1 = 2x –
2 1
Faktor pengalinya adalah
2 1
Hasil baginya =
+ +
2
2 2
6 2
x x
= x
2
+ x + 3 Maka sisa pembagian = 2.
+ =
+ 1
b x
ax b a
a
151
Suku Banyak
fx = x –
1 2
2x
2
+ 2x + 6 + 2 =
2 1
2 x
− 2x
2
+ 2x + 6 + 2 =
2x – 1x
2
+ x + 3 + 2 Jadi, x
2
+ x + 3 merupakan hasil bagi dan 2 merupakan sisa pembagian. 2.
fx = 2x
3
+ x
2
+ x + 10 dibagi 2x + 3 dengan cara horner sebagai berikut –
3 2
2 1
1 10
–3 3
–6 2
–2 4
4 hasil bagi
sisa Jadi, x
2
– x + 2 merupakan hasil bagi dan 4 merupakan sisa pembagian.
b. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat ax
2
+ bx + c
Pembagian suku banyak dengan ax
2
+ bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan
cara biasa apabila ax
2
+ bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax
2
+ bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Misalkan, suatu suku banyak fx dibagi ax
2
+ bx + c dengan a ≠ 0 dan dapat
difaktorkan menjadi ax – p
1
x – p
2
. Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.
1 fx dibagi ax – p
1
, sedemikian hingga fx = ax – p
1
⋅ h
1
x + f
1
p a
, di mana h
1
x = h x
a .
2 hx dibagi x – p
2
, sedemikian hingga h
1
x = x – p
2
⋅ h
2
x + h
1
p
2
. 3
Substitusikan h
1
x = x – p
2
⋅ h
2
x + h
1
p
2
ke fx = ax – p
1
⋅ h
1
x + f
1
p a
. Dihasilkan fx = ax – p
1
ax – p
2
⋅
h
2
x +
1 1
1 2
p ax p
h p f
a
−
⋅ +
. Karena ax – p
1
ax – p
2
= ax
2
+ bx + c, maka dapat ditulis sebagai berikut. fx = ax
2
+ bx + c ⋅
h
2
x +
1 1
1 2
p ax p
h p f
a
−
⋅ +
di mana: • h
2
x merupakan hasil bagi • ax – p
1
⋅ h
1
p
2
+ f
1
p a
merupakan sisa pembagian
Ingat
Karena pembaginya 2x + 3 = 2 x +
3 2
Faktor pengalinya – 3
2 Hasil baginya =
− +
2
2 2
4 2
x x
= x
2
– x + 2 Maka sisa pembagian = 4.
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
152
Agar kamu memahami pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika: 1.
3x
4
+ 4x
3
– 5x
2
– 2x + 5 dibagi x
2
+ 2x + 3 2.
2x
3
+ x
2
+ 5x – 1 dibagi x
2
– 1
Penyelesaian
1. 3x
4
+ 4x
3
– 5x
2
– 2x + 5 dibagi x
2
+ 2x + 3 Karena x
2
+ 2x + 3 tidak dapat difaktorkan, maka dilakukan pembagian biasa cara susun.
3x
2
– 2x – 10
2 4
3 2
2 3 3
4 5
2 5
x x
x x
x x
+ +
+ −
− +
3x
4
+ 6x
3
+ 9x
2
–2x
3
– 14x
2
– 2x + 5 –2x
3
– 4x
2
– 6x –10x
2
+ 4x + 5 –10x
2
– 20x – 30 24x + 35
Jadi, 3x
2
– 2x – 10 merupakan hasil bagi dan 24x + 35 merupakan sisa pembagian.
2. 2x
3
+ x
2
+ 5x – 1 dibagi x
2
– 1 Karena x
2
– 1 dapat difaktorkan menjadi x + 1x – 1, maka pembagian tersebut dapat dilakukan dengan 2 cara.
a. Cara susun
2x + 1
2 3
2
1 2 5
1 x
x x
x −
+ +
− 2x
3
– 2x x
2
+ 7x – 1 x
2
– 1 7x
b. Cara Horner
x
2
– 1 difaktorkan menjadi x + 1x – 1 –1 2
1 5
–1 –2
1 –6
2 –1
6 –7
⇒ f
1
p a
+
