Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 94

b. Rumus Cosinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus cos A + B, untuk A = B maka diperoleh: cos 2A = cos A + A = cos A cos A – sin A sin A = cos 2 A – sin 2 A ……………..1 atau cos 2A = cos 2 A – sin 2 A = cos 2 A – 1 – cos 2 A = cos 2 A – 1 + cos 2 A = 2 cos 2 A – 1 ……………..2 atau cos 2A = cos 2 A – sin 2 A = 1 – sin 2 A – sin 2 A = 1 – 2 sin 2 A …………3 Dari persamaan 1, 2, dan 3 didapat rumus sebagai berikut. cos 2A = cos 2 A – sin 2 A cos 2A = 2 cos 2 A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin 2 A Pelajarilah contoh soal berikut untuk memahami rumus cosinus sudut ganda. Contoh soal Diketahui cos A = – 24 25 , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah nilai cos 2A. Penyelesaian cos 2A = 2 cos 2 A – 1 = 2– 24 25 2 –1 = 2 ⋅ 276 625 – 1 = 1.152 527 1 625 625 − =

c. Rumus Tangen Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus tan A + B, untuk A = B diperoleh: tan 2A = tan A + A = tan tan 1 tan tan A A A A + − ⋅ = 2 2 tan 1 tan A A − Ingat sin 2 A + cos 2 A = 1 95 Trigonometri Rumus: tan 2A = 2 2 tan 1 tan A A − Perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh soal Jika α sudut lancip dan cos α = 4 5 , hitunglah tan 2 α. Penyelesaian BC 2 = AC 2 – AB 2 = 5 2 – 4 2 = 25 – 16 = 9 BC = 9 = 3 tan α = 3 4 BC AB = tan 2 α = 2 2 tan 1 tan α − α = 2 3 2 4 3 1 4 ⋅   −     = 3 2 9 1 16 − = 3 2 16 9 16 16 − = 3 2 7 16 = 3 16 2 7 × = 24 7

d. Rumus Sudut Ganda untuk Sin

1 2 A , Cos 1 2 A , dan Tan 1 2 A Berdasarkan rumus cos 2A = 1 – 2 sin 2 A dan cos 2A = 2 cos 2 A – 1, maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk sin 1 2 A , cos 1 2 A , dan tan 1 2 A . Misal 2A = α ⇒ A = 1 2 α , sehingga: cos 2A = 1 – 2 sin 2 A cos α = 1 – 2 sin 2 1 2 α 2 sin 2 1 2 α = 1 – cos α sin 2 1 2 α = 1 cos 2 − α sin 1 2 α = 1 cos 2 − α A B C Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA 96 Begitu pula untuk cos 1 2 α cos 2A = 2 cos 2 A – 1 cos α = 2 cos 2 1 2 α – 1 2 cos 2 1 2 α = cos α + 1 cos 2 1 2 α = cos 1 2 α + cos 1 2 α = cos 1 2 α + Dengan cara yang sama didapat: tan 1 2 α = sin 1 cos α + α jika cos 1 α ≠ − atau tan 1 2 α = 1 cos sin − α α jika sin α ≠ . Rumus: sin 1 2 α = 1 cos 2 − α cos 1 2 α = cos 1 2 α + tan 1 2 α = sin 1 cos α + α , cos 1 α ≠ − tan 1 2 α = 1 cos sin − α α , sin α ≠ Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Contoh soal Hitunglah nilai dari: 1. sin 15° 2. cos 67,5° 3. tan 22,5° Penyelesaian 1. sin 15° = 1 cos 30 2 − ° = 1 1 3 2 2 − = 2 3 4 − = 1 2 3 2 −