Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
134
Agar lebih memahami tentang materi di atas, pelajarilah contoh soal berikut ini dengan baik.
Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien
2 2
pada lingkaran x
2
+ y
2
= 16.
Penyelesaian
Persamaan garis singgung dengan gradien
2 2
pada lingkaran x
2
+ y
2
= 16 adalah: m = 2
2
r
2
= 16 ⇒ r = 4
y = mx ± r
2
1 m +
= 2 2
x ± 4
2
1 4 +
= 2 2
x ± 4
2
1 16 +
= 2
2
x ± 4 17
Jadi persamaan garis singgungnya: y = 2
2
x + 4
17
y = 2
2
x – 4
17
b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
adalah: y = mx ± r
2
1 m +
Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah: y – b = mx – a ± r
2
1 m +
c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0
Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk x – a
2
+ y – b
2
= r
2
sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu: y – b = mx – a ± r
2
1 m +
Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh soal berikut.
135
Lingkaran
Contoh soal
Diketahui lingkaran x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 1 = 0. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis g: –3x + 4y – 1 = 0, terhadap lingkaran.
Penyelesaian
g: –3x + 4y – 1 = 0 4y = 3x + 1
y =
4 3
x +
4 1
⇒ m
g
=
4 3
Syarat tegak lurus: m
1
⋅
m
g
= –1 m
1
⋅
4 3
= –1 m
1
= 4
3 −
x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 1 = 0 pusat –2, 1
r =
2 2
2 1
1 + −
− =
4 = 2
Persamaan lingkaran: x + 2
2
+ y – 1
2
= 4 Persamaan garis singgung:
y – b = m x – a ± r
2
1 m +
y – 1 = –
3 4
x + 2 ± 2
2
4 3
1 + −
y – 1 = –
3 4
x + 2 ± 2
16 9
1 +
y – 1 = –
3 4
x + 2 ± 2
25 9
y – 1 = –
3 4
x –
3 8
± 2
⋅ 3
5
y – 1 = –
3 4
x –
3 8
±
3 10
3y – 1 = –4x – 8 ± 10 3y – 3 = –4x – 8 ± 10
3y – 3 = –4x – 8 + 10 atau 3y – 3 = –4x – 8 – 10
3y = –4x + 5 atau 3y = –4x – 15
y = –
3 4
x +
3 5
atau y = –
3 4
x – 5
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
136
4.4
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:
a. x + 2
2
+ y – 3
2
= 4 yang membentuk sudut 45
o
dengan sumbu X positif b. x
2
+ y
2
+ 4x – 6y + 11 = 0 yang membentuk sudut 135
o
dengan sumbu X positif 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:
a. x
2
+ y
2
= 10 dengan gradien 3 b. x + 2
2
+ y – 5
2
= 9 dengan gradien –1 c. x
2
+ y
2
– 10x + 2y + 17 = 0 dengan gradien 2 3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:
a. x
2
+ y
2
= 4 dan sejajar garis x – y + 3 = 0 b. x + 1
2
+ y – 3
2
= 9 dan sejajar garis 2x + y + 4 = 0 c. x
2
+ y
2
– 4x + 10y + 4 = 0 dan sejajar garis y = x + 2 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari:
a. x
2
+ y
2
= 25 dan tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 5 = 0 b. x – 2
2
+ y + 3
2
= 16 dan tegak lurus dengan garis x – 2y + 4 = 0 c. x
2
+ y
2
– 2x + 8y + 1 = 0 tegak lurus dengan garis 2x + 2y + 5 = 0
Ingat
Gradien = m m = tan 135
o
= tan 180 – 45
o
= –1
1. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak
sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
2. Persamaan lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O0, 0 dan berjari-jari r adalah
x
2
+ y
2
= r
2
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di Aa, b dan berjari-jari r adalah
x – a
2
+ y – b
2
= r
2
c. Bentuk umum persamaan lingkaran x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0, pusat di –A, –B dan berjari-jari
2 2
A B
C +
−
