t
e u
Δ
=
σ
,
t
e d
Δ −
=
σ
, dan .
d u
d e
p
t r
− −
=
Δ
3.3
S.u p
S 1-p
t Δ
S.d Gambar 12 Konstruksi metode binomial tree.
2. Nilai opsi pada waktu jatuh tempo
Pada waktu jatuh tempo dapat dihitung nilai dari opsi dengan menggunakan prinsip:
[ ]
, max
K S
n
−
untuk kondisi opsi call, dimana K adalah strike price dan
n
S
adalah harga saham dasar.
3. Nilai opsi pada node awal
Nilai opsi pada node awal t=0 dihitung dengan metode backward. Langkah-langkah yang dilakukan sebagai berikut:
a Dengan prinsip risk neutral valuation, hitung pobabilitas pergerakan naik p dan pergerakan turun 1-p. Selanjutnya hitung
nilai ekspektasi dengan menggunakan formula,
3.4 b Hasil dari langkah a adalah nilai opsi yang dicari untuk waktu
tertentu yang diberikan. c Tergantung dari tipe opsi yang diinginkan:
• Untuk opsi tipe Eropa eksekusi dilakukan pada waktu jatuh tempo.
• Untuk opsi tipe Amerika, dapat dieksekusi setiap saat hingga waktu jatuh tempo, nilainya adalah : maxS
n
-K, V Jika ada asumsi pembagian dividen, maka metode binomial tree dapat
digunakan untuk menganalisis pergerakan harga naik dan turun. Misalkan
t i
Δ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
∑
= +
− Δ
− n
j n
j n
j t
nr
K S
p p
j n
e V
1
adalah waktu setelah harga opsi saham menjadi ex-dividen maka node yang berkorespondensi dengan harga saham menjadi
i j
d u
S
j i
j
,... 1
, ,
1 =
−
−
δ
3.5 Metode
binomial tree dapat digunakan untuk menghitung nilai opsi
barrier tipe up-and-out call. Opsi barrier adalah opsi yang memiliki batas harga
yang menentukan opsi tersebut tetap aktif bergerak. Untuk opsi barrier tipe up- and-out call
, jika pergerakan harga saham mencapai barrier yang sudah ditentukan maka nilai opsi menjadi tidak berharga atau bernilai nol.
3.5 Model Penentuan Nilai Opsi Berdasarkan Skenario Penelitian
Simulasi perhitungan nilai opsi call barrier dengan dividen tunggal akan menggunakan sintaks MATLAB. Simulasi akan berdasarkan pada Tabel 14.
Karena KOS adalah opsi tipe Amerika maka penentuan nilai opsi dengan metode binomial tree
dalam penelitian ini dikhususkan pada opsi tipe Amerika. Adapun sintaks MATLAB yang digunakan dalam simulasi mengacu pada sintaks
MATLAB dari Jaenudin 2009, kemudian dikembangkan untuk penentuan nilai opsi dengan dividen
3.5.1 Metode Binomial Tree untuk Skenario I A
Skenario I A adalah skenario dimana pergerakan harga saham dasar tidak mencapai barrier dan tidak dikenai pembagian dividen sampai waktu jatuh tempo.
Pada skenario ini akan dihitung nilai opsi call biasa tipe Amerika dan nilai opsi barrier
tipe up-and-out call Amerika. Tujuan yang hendak dicapai adalah untuk membandingkan nilai opsi ketika barrier diberlakukan. Simulais perhitungan
menggunakan sintaks MATLAB, sehingga untuk Skenario I A terdapat dua algoritma, yaitu untuk penentuan nilai opsi call biasa tipe Amerika dan opsi
barrier tipe up-and-out call Amerika. Algoritmanya sebagai berikut.
1. Algoritma opsi call tipe Amerika
Algoritma opsi call tipe Amerika menggunakan metode binomial tree
1: Input So, K,
σ
, r, T, n 2: Hitung
t Δ
= Tn, u =
t
e
Δ σ
, d=1u, p =
d u
d e
t r
− −
Δ
, disc =
t r
e
Δ −
3: Konstruksi Binomial tree
1 ,
1
S
= So;
for i = 2 : n + 1
i i
S
,
=
d S
i i
1 ,
1 −
−
;
end; for i = 1: n + 1
for j = i + 1 : n + 1
u S
S
j i
j i
1 ,
, −
=
;
end; end;
4: Payoff opsi pada waktu jatuh tempo for i = 1 : n + 1
, max
1 ,
1 ,
K S
V
n i
n i
− =
+ +
;
end; 5: Nilai opsi pada waktu jatuh tempo menggunakan metode backward
for j = n : -1 : 1 for i = 1 : j
, 1
max
, 1
, 1
1 ,
,
K S
V p
V p
disc V
j i
j i
j i
j i
− −
+ =
+ +
+
;
end; end;
6:
1 ,
1
V
adalah harga opsi call tipe Amerika
Opsi barrier tipe up-and-out call Amerika adalah opsi yang menunjukkan posisi barrier terletak di atas harga saham dan harga strike price. Dikarenakan
opsi call yang dihitung maka posisi harga saham akan lebih besar dari harga strike price
. Untuk menentukan nilai opsi yang diberikan barrier di dalam metode binomial tree
, akan diterapkan metode tambahan dalam hal pemilihan jumlah langkah waktu yang dikemukakan oleh Boyle dan Lau 1994 yang bertujuan
untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Formulanya adalah sebagai berikut
2 2
2
log ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
B S
T m
m F
σ
, m = 1,2,3,... 3.6
Sehingga algoritma untuk menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika diberikan sebagai berikut.
