diterima oleh Journal of Political Economy JPE dan dipublikasikan pada Juni 1973 dengan judul The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Merton yang
juga bekerjasama dengan Black dan Scholes menghasilkan paper tentang penentuan nilai opsi pada Bell Journal of spring 1973. Scholes and Merton
menerima hadiah Nobel untuk hasil karya mereka, tetapi Fischer Black meninggal sebelum hadiah Nobel itu diberikan. Akhirnya Chicago Board Options Exchange
CBOE mulai memperdagangkan opsi pada tahun 1973 dan model Black-Scholes langsung dipergunakan oleh trader yang terlibat sebagai pelaku pasar dalam
perdagangan opsi Cuthbertson et al. 2001.
2.7.2 Latar Belakang Penurunan Model Black-Scholes
Beberapa konsep dasar yang diperlukan untuk penurunan model Black- Scholes akan dijelaskan berikut ini.
Definisi 2.1 Proses Stokastik
Ross 1996 Proses stokastik
{ }
T t
t X
X ∈
= ,
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh sample space
Ω
ke suatu ruang state state space
S.
Definisi 2.2 Independen
Ross 1996 Suatu proses stokastik
{ }
, ≥
t t
X
bersifat independen apabila
t s
r ∀
, distribusi dari
r X
s X
−
dan
s X
t X
−
saling bebas.
Definisi 2.3 Stasioner Ross 1996
Suatu proses stokastik
{ }
, ≥
t t
X
bersifat stasioner apabila distribusi dari
t X
s t
X −
+
tidak bergantung pada t.
Definisi 2.4 Gerak Brown
Ross 1996 Proses stokastik
{ }
T t
t X
X ∈
= ,
disebut gerak Brown jika: 1.
= X
2. Untuk
T t
t t
n
= ...
2 1
, peubah acak
n i
t X
t X
i i
,..., 2
, 1
,
1
= −
−
saling bebas 3. Untuk setiap
, t
t X
berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
.
2
t σ
Definisi 2.5 Gerak Brown Geometris
Ross 1996 Jika
{ }
, t
t X
adalah gerak Brown, maka proses stokastik
{ }
, ≥
t t
Z
yang didefinisikan
t X
e t
Z =
disebut gerak Brown Geometris.
Definisi 2.6 Proses Wiener Niwiga 2005
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Definisi 2.7 Proses Wiener Umum Hull 2006
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut dXt = a dt + b dWt 2.7
a dt disebut sebagai komponen deterministik dan b dWt disebut komponen stokastik, serta
t W
adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari X.
Definisi 2.8 Proses Ito Hull 2006
Proses Ito adalah proses Wiener umum di mana a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut.
t dW
t t
X b
dt t
t X
a t
dX ,
, +
=
2.8
Lemma 2.9 Lemma Ito Hull 2006
Misalkan proses
t X
memenuhi persamaan 2.2 dan fungsi
t t
X f
t Y
, =
adalah kontinu serta turunan-turunan
t t
X f
t
,
,
t t
X f
x
,
,
t t
X f
xx
,
kontinu, maka
t t
X f
t Y
, =
memenuhi persamaan berikut.
2 1
, 2
1 ,
, t
dX t
t X
f t
dX t
t X
f dt
t t
X f
t dY
xx x
+ +
=
2.9
dengan
2 2
, ,
X f
f X
f f
t f
f
xx x
t
∂ ∂
= ∂
∂ =
∂ ∂
= dan
. ,
2 2
dt t
dW t
dtdW dt
t dW
dt =
= =
=
Dari penjelasan konsep dasar di atas, Fischer Black dan Myron Scholes selanjutnya memberikan beberapa asumsi dalam membangun model matematika
Black-Scholes yaitu: 1. Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal. 2. Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3. Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 4. Tidak ada kemungkinan melakukan arbitrage.
5. Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu. 6. Short selling diijinkan.
7. Suku bunga bebas resiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.
Ketujuh kondisi di atas merupakan syarat agar model Black-Scholes dapat berfungsi dengan baik.
2.7.3 Model Pergerakan Harga Saham
