Valuasi Formula Model Black-Scholes

Selanjutnya substitusikan persamaan 2.12 ke dalam persamaan 2.15, maka diperoleh dt S V S t V dt S t V V r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − 2 2 2 2 2 1 σ 2.16 akhirnya didapat . 2 1 2 2 2 2 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ rV t V S V rS S V S σ 2.17 Persamaan 2.17 inilah yang dikenal sebagai persamaan diferensial parsial Black- Scholes-Merton Hull 2006.

2.7.4 Valuasi Formula Model Black-Scholes

Paramater-parameter yang digunakan dalam perumusan model Black- Scholes adalah stock price S, strike price K, opsi call C, waktu sekarang t, expiry atau maturity date T, Volatility σ , dan risk-free interest rate r. Hull 2006 menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes adalah menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah [ ] , max K S E T − 2.18 Didefinisikan T S g adalah fungsi kepekatan peluang dari T S maka [ ] T T K T T dS S g K S K S E ∫ ∞ − = − 0 , max 2.19 Misalkan S G ln = , maka S S G 1 = ∂ ∂ , 2 2 2 1 S S G − = ∂ ∂ dan = ∂ ∂ t G . Berdasarkan Lemma Ito diperoleh t dW S S dt S S S S dG 1 1 2 1 1 2 2 2 σ σ μ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = . 2 1 2 dz dt σ σ μ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Karena μ dan σ konstan maka S G ln = mengikuti gerak Brown dengan rataan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 σ μ dan varian . 2 σ Berdasarkan persamaan 2.9, S dS merupakan tingkat imbal hasil dari harga saham. Imbal hasil harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah . dt μ Sebagai contoh dari imbal hasil yang bersifat deterministik adalah imbal hasil dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas resiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r. Dikarenakan S G ln = berubah dari 0 sampai T dan S G ln = mengikuti gerak Brown, maka S ln berdistribusi normal dengan rataan T r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 σ dan varian . 2 T σ Pada waktu = t nilai ln S G = dan pada waktu T nilai T S G ln = , maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, ln ln S S T − berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ν − T T r S S T σ σ , 2 1 ~ ln ln 2 atau dapat dituliskan T S ln berdistribusi normal dengan ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + Ν T T r S S T σ σ , 2 1 ln ~ ln 2 Dengan demikian T S ln berdistribusi normal dengan rataan T r S m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 2 2 1 ln σ dan standar deviasi T s σ = 2.20 Didefinisikan peubah Q dengan T m S Q T σ − = ln 2.21 Substitusi m dari persamaan 2.20 ke dalam persamaan 2.21, diperoleh T r T S S T Q T ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 ln ln 1 2 σ σ σ maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, fungsi kepekatan peluang Q dinyatakan dengan Q h , yaitu 2 2 2 1 Q e Q h − = π 2.22 proses penurunan formula 2.22 lihat lampiran 2. Persamaan 2.21 dinyatakan menjadi m T Q T e S + = σ 2.23 Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan 2.19, dari integral menurut T S menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut Jika ∞ = T S , maka ∞ = Q Jika K S T = , maka m T Q e K + = σ sehingga T m K Q σ − = ln Dengan menggunakan persamaan 2.22, 2.23, perubahan batas integral dan misalkan T s σ = , maka persamaan 2.19 menjadi: [ ] dQ Q h K e K S E s m K m Qs T ∫ ∞ − + − = − ln , max dQ Q h K dQ Q h e s m K s m K m Qs ∫ ∫ ∞ − ∞ − + − = ln ln dQ Q h K dQ e e s m K Q s m K m Qs ∫ ∫ ∞ − − ∞ − + − = ln 2 ln 2 2 1 π ∫ ∫ ∞ − ∞ − + + − − = s m K s m K m Qs Q dQ Q h K dQ e ln ln 2 2 2 2 2 1 π dQ Q h K dQ e s m K s m K m s s Q ∫ ∫ ∞ − ∞ − + + − − − = ln ln 2 2 2 2 2 1 π dQ Q h K dQ e e s m K s Q s m K s m ∫ ∫ ∞ − − − ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ln 2 ln 2 2 2 2 1 π ∫ ∫ ∞ − − − ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = s m K s Q s m K s m dQ Q h K dQ e e ln 2 ln 2 2 2 2 1 π dQ Q h K dQ s Q h e s m K s m K s m ∫ ∫ ∞ − ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ln ln 2 2 Sehingga persamaan 2.19 dapat dinyatakan sebagai [ ] dQ Q h K dQ s Q h e K S E s m K s m K s m T ∫ ∫ ∞ − ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − ln ln 2 2 , max 2.24 Jika x Ν menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka [ ] [ ] s s m K e dQ s Q h e T m s m K s m − − Ν − = − + ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ln 1 2 ln 2 2 2 σ [ ] [ ] s s m K e T m + + − Ν = + ln 2 2 σ Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusikan dengan persamaan 2.20 dan T s σ = , maka diperoleh ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − Ν = − + ∞ − + ∫ T T T r S K e dQ s Q h e T m s m K s m σ σ σ σ 2 ln ln 2 2 ln 2 2 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ν = + T T T r K S e T m σ σ σ σ 2 2 2 2 ln 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ν = + T T r K S e T m σ σ σ 2 ln 2 2 2 1 2 2 d e T m Ν = + σ , di mana T T r K S d σ σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ln 2 1 , dengan alasan yang sama, maka ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − Ν = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ν − = ∫ ∞ − s m K K s m K K dQ Q h K s m K ln ln 1 ln Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan 2.20 ke dalam persamaan di atas diperoleh ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + − Ν = ∫ ∞ − T T r S K K dQ Q h K s m K σ σ 2 ln ln 2 ln ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ν = T T r K S K σ σ 2 ln 2 2 d K Ν = dengan T T r K S d σ σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ln 2 2 Sehingga persamaan 2.19 menjadi [ ] 2 1 2 2 , max d K d e K S E T m T Ν − Ν = − + σ 2 1 2 2 ln 2 2 d K d e T T r S Ν − Ν = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + σ σ . 2 1 d K d e S rT Ν − Ν = 2.25 Menurut argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas resiko, dapat dinyatakan sebagai [ ] , max K S E e c T rT − = − 2.26 Dengan substitusi persamaan 2.25 ke persamaan 2.26 diperoleh formula Black- Scholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu 2 1 d N Ke d N S c rT − − = 2.27 dengan T T r K S d σ σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ln 2 1 dan T T r K S d σ σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 ln 2 2 Selanjutnya kondisi final opsi call merupakan nilai opsi call saat jatuh tempo. Misalkan T adalah saat jatuh tempo dari opsi call, S adalah harga saham dan K adalah harga eksekusi opsi, maka kondisi final opsi call dapat dinyatakan sebagai berikut , max , K S T S C − = 2.28 Opsi tipe Amerika merupakan pengembangan dari model opsi tipe Eropa. Di dalam praktek para investor lebih menyukai opsi tipe Amerika karena sifatnya yang lebih fleksibel. Opsi call Amerika mempunyai resiko yang lebih kecil dalam mengalami kerugian, dan memiliki nilai yang lebih besar atau sama dengan opsi Eropa. Karena penentuan nilai Opsi tipe Amerika cukup sulit dengan pendekatan model Black-Scholes, maka opsi tipe Amerika akan ditentukan dengan menggunakan metode binomial tree yang secara teoritis akan dijelaskan selanjutnya.

2.7.5 Opsi Call Eropa dengan Dividen