dengan
2 2
, ,
X f
f X
f f
t f
f
xx x
t
∂ ∂
= ∂
∂ =
∂ ∂
= dan
. ,
2 2
dt t
dW t
dtdW dt
t dW
dt =
= =
=
Dari penjelasan konsep dasar di atas, Fischer Black dan Myron Scholes selanjutnya memberikan beberapa asumsi dalam membangun model matematika
Black-Scholes yaitu: 1. Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal. 2. Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3. Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 4. Tidak ada kemungkinan melakukan arbitrage.
5. Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu. 6. Short selling diijinkan.
7. Suku bunga bebas resiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.
Ketujuh kondisi di atas merupakan syarat agar model Black-Scholes dapat berfungsi dengan baik.
2.7.3 Model Pergerakan Harga Saham
Model Black-Scholes dalam penentuan nilai opsi merupakan suatu model pendekatan analitik. Misalkan diketahui
t S
adalah harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan
harga saham dan
σ
volatilitas harga saham, maka pergerakan harga saham diasumsikan mengikuti gerak Brown geometri sehingga perubahan harga saham S
terhadap waktu t dapat dimodelkan sebagai berikut Hull 2006
t dW
t S
dt t
S t
dS
σ μ
+ =
2.10 Penurunan persamaan diferensial parsial Black-Scholes mengikuti
serangkaian proses. Diketahui
t X
mengikuti proses Wiener umum, ditunjukkan oleh persamaan 2.7. Persamaan 2.7 dikembangkan menjadi persamaan 2.8.
Dari kedua persamaan tersebut dapat ditentukan model dari pergerakan harga saham, diasumsikan tidak ada pembagian dividen pada saham tersebut dan
t S
adalah harga saham pada waktu t. Maka berdasarkan proses Ito, perubahan
t S
akan mempunyai nilai harapan drift rate
. S
μ
Parameter μ menyatakan tingkat rata-rata pergerakan harga saham dan
dt t
S
μ disebut komponen deterministik.
Dikarenakan harga saham dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
t dW
t S
σ , dengan
σ
menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model pergerakan harga saham adalah berbentuk persamaan
2.10. Dari persamaan 2.10, dapat digunakan Lema Ito untuk suatu fungsi
S t
V ,
, yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, maka diperoleh t
dW S
V S
dt S
V S
t V
S V
S dV
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
σ σ
μ
2 2
2 2
2 1
2.11 Untuk
menghilangkan pengaruh
proses Wiener dibuat suatu portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang diambil adalah
membeli suatu opsi dan menjual
S V
∂ ∂
saham. Misalkan
π
adalah nilai hasil dari portofolio yang didefinisikan
. S
S V
V ∂
∂ −
= π
2.12 Perubahan yang terjadi pada portofolio di selang waktu
dt
didefinisikan sebagai
dS S
V dV
d ∂
∂ −
=
π 2.13
Dengan menyubstitusikan persamaan 2.10 dan 2.11 ke dalam 2.13 maka dihasilkan persamaan
. 2
1
2 2
2 2
dt S
V S
t V
d ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
= σ
π 2.14
proses penurunan formula 2.14 lihat lampiran 1. Return
dari investasi sebesar
π
pada saham bebas risiko akan memiliki pertumbuhan sebesar
dt r
π
dalam selang waktu
. dt
Agar tidak memiliki peluang melakukan arbitras, nilai pertumbuhan dibuat sama dengan ruas kanan dari
persamaan 2.14 yaitu .
2 1
2 2
2 2
dt S
V S
t V
dt r
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
σ π
2.15
Selanjutnya substitusikan persamaan 2.12 ke dalam persamaan 2.15, maka diperoleh
dt S
V S
t V
dt S
t V
V r
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
−
2 2
2 2
2 1 σ
2.16 akhirnya didapat
. 2
1
2 2
2 2
= −
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
rV t
V S
V rS
S V
S
σ
2.17 Persamaan 2.17 inilah yang dikenal sebagai persamaan diferensial parsial Black-
Scholes-Merton Hull 2006.
2.7.4 Valuasi Formula Model Black-Scholes
