Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Kontinu

2 , 2 , , 2 2 1 1 1 2 r c p c p p c p c dd T ud T uu T T + − + − + = − 2.42 n n j T j n j n T r K s p p j n c + − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = + − − 1 1 2.43

2.9.5 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Kontinu

Proses perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial tree dengan suku bunga kontinu adalah sebagai berikut Cox et.al 1979. Didefinisikan harga saham pada waktu T-1 adalah S , maka harga saham pada waktu T akan bergerak naik dengan faktor u menjadi S u dan bergerak turun dengan faktor d menjadi S d dimana d 1 u , demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu f menjadi u f dan d f . Harga opsi pada waktu T didefinisikan sebagai K u S maks f u − = , dan K d S maks f d − = , dimana K adalah harga eksekusi pada waktu T. Perhatikan ilustrasi di bawah ini S u K u S maks f u − = , S f S d K d S maks f d − = , Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah Δ saham dan posisi short untuk satu opsi call. u f u S − Δ f S − Δ d f d S − Δ Portofolio akan menjadi bebas resiko ketika u f u S − Δ = d f d S − Δ sehingga diperoleh nilai d d u S u S f f − − = Δ 2.44 Nilai portofolio pada waktu T adalah u f u S − Δ sehingga nilai portofolio pada saat ini merupakan present value dari u f u S − Δ yaitu: rT u e f u S − − Δ dengan r adalah suku bunga bebas resiko. Bentuk lain dari portofolio pada saat ini adalah f S − Δ . Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh : rT u e f u S f S − − Δ = − Δ rT u rT e f ue S f − − + − Δ = 1 2.45 Substitusikan nilai Δ pada persamaan 2.45 diperoleh rT u rT d u e f ue S d S u S f f f − − + − − − = 1 rT d rT u rT e f d u d e f d u d e − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − + − − = 1 [ ] d u rT f p pf e − + = − 1 2.46 proses penurunan formula 2.38 dan 2.39 lihat lampiran 5 Dengan d u d e p rT − − = selanjutnya p disebut sebagai peluang risiko netral. Persamaan 2.46 merupakan persamaan untuk menentukan nilai opsi dengan menggunakan metode binomial tree suku bunga kontinu satu langkah. Dengan proses yang sama dapat ditentukan formula untuk menentukan nilai opsi dengan menggunakan metode binomial tree suku bunga kontinu dua langkah dan seterusnya sampai n-langkah. Karena panjang waktu sekarang berubah menjadi t Δ maka dapat dibuat generalisasi dengan langkah-langkah yang sama sehingga diperoleh [ ] d u t r f p pf e f − + = Δ − 1 2.47 d u d e p t r − − = Δ 2.48 Mengulang proses penurunan rumus pada metode binomial tree satu langkah maka [ ] ud uu t r u f p pf e f − + = Δ − 1 2.49 [ ] dd ud t r d f p pf e f − + = Δ − 1 2.50 [ ] d u t r f p pf e f − + = Δ − 1 2.51 Selanjutnya substitusikan persamaan 2.49 dan 2.50 kedalam persamaan 2.52 diperoleh [ ] dd ud uu t r f p f p p f p e f 2 2 2 1 1 2 − + − + = Δ − 2.53 Dengan cara yang sama dapat dibuat formula generalisasi sebagai berikut ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = + − Δ − n j n j n j t nr K S p p j n e f 1 2.54 Persamaan 2.53 merupakan formula untuk penentuan nilai opsi dua langkah sedangkan persamaan 2.54 merupakan nilai opsi n-langkah.

2.9.6 Rasio Lindung Nilai