99 .
34 5
0635749201 .
3 5
0635749201 .
6 0646778943
.
1 .
05 .
+ +
=
−
e 0603775763
. 7
0614250791 .
4 4
0624907553 .
6 +
+
= 6.35 Dengan binomial tree nilai yang diperoleh adalah 6.35. Nilai sebenarnya dari
opsi barrier tipe up-and-out call ini adalah 5.13. Jadi dengan menggunakan binomial tree
dapat dihitung nilai pendekatan untuk opsi barrier tipe up-and-out call
.
2.9.10 Kajian Numerik Kekonvergenan Metode Binomial Tree
Dalam tesis ini kekonvergenan metode binomial tree akan ditinjau melalui kajian numerik. Beberapa definisi yang berkaitan dengan barisan dan limit sebagai
teori dasar kekonvergenan diberikan di bawah ini.
Definisi 2.10 Barisan Bilangan Real
Purcell et.al 1987 Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N ke R. Misalkan
R N
X →
:
adalah suatu barisan bilangan real dengan
n
x n
X =
,
N n
∈ ∀
n
x
disebut suku ke-n dari barisan X. Barisan X bias dilambangkan dengan
{ } { }
{ }
n N
n n
n n
x x
x X
= =
=
∈ ∞
=1
2.64
Definisi 2.11 Limit Barisan
Purcell et.al 1987 Misalkan
{ }
∞ =1
n n
x
adalah barisan bilangan real. Barisan
{ }
∞ =1
n n
x
dikatakan mempunyai limit
R L
∈
untuk n menuju tak hingga, jika
, ,
N n
∈ ∃
∀ ε
ε
sehingga ε
− L x
n
,
n n
≥ ∀
2.65 Barisan
{ }
∞ =1
n n
x
mempunyai limit L, dituliskan dengan lambing L
x
n n
=
∞ →
lim
Definisi 2.12 Barisan Konvergen Purcell et.al 1987
Jika barisan bilangan real
{ }
∞ =1
n n
x
mempunyai limit L, maka barisan
{ }
∞ =1
n n
x
dikatakan konvergen ke L.
Metode binomial tree adalah suatu model waktu diskrit yang konvergen ke model waktu kontinu dari model Black-Scholes opsi tipe Eropa. Atau dengan kata
lain distribusi nilai dari metode binomial tree mendekati ke nilai Black-Scholes untuk opsi Eropa, apabila jumlah dari interval waktu yang digunakan dalam
perhitungan bertambah menuju infinity Mayer, 2010. Kekonvergenan metode binomial tree merupakan suatu legitimasi untuk
mencari nilai opsi call tipe Amerika, karena secara analitik model Black-Scholes sulit untuk menentukan nilai opsi tipe Amerika. Pada tesis ini kajian numerik
kekonvegenan binomial tree akan ditunjukkan dengan simulasi grafik dan tabel nilai numerik. Untuk melakukan simulasi grafik digunakan parameter-parameter
sebagai berikut, dengan S = 50, K = 50, r = 0.05,
σ
= 0.5, T = 0.5, N = 200, diperoleh hasil yang disajikan dalam Gambar 9 di bawah ini Susilo 2008 dan
Kind 2011.
Gambar 9 Grafik kekonvergenan metode binomial tree.
Dari Gambar 9, garis lurus yang berwarna merah menunjukkan nilai Black-Scholes untuk opsi tipe call Eropa, sedangkan grafik osilasi berwarna biru
menunjukkan nilai dari metode binomial tree opsi tipe call Eropa. Hasilnya menunjukkan bahwa grafik berwarna biru nilainya semakin mendekati grafik
berwarna merah apabila N-Step bertambah. Dengan parameter yang sama dan untuk melihat lebih jelas nilai pendekatan secara numerik dapat melihat pada
Tabel 9 di bawah ini.
20 40
60 80
100 120
140 160
180 200
7.35 7.4
7.45 7.5
7.55 7.6
7.65 7.7
7.75 7.8
Banyak N-Step Metode Binomial Tree Nila
i O p
s i
Binomial Tree Black-Scholes
Tabel 9 Perbandingan metode binomial tree N-Step dengan model Black- Scholes
Tipe Opsi N-Step
40 80 120 160 180
Nilai BS
Call Eropa 7.5203
7.5419 7.5491 7.5527 7.5537 7.5549
Dari Tabel 9 dapat diketahui bahwa semakin besar N-Step yang diambil maka nilai dari metode binomial tree opsi call tipe Eropa semakin mendekati nilai
dari model Black-Scholes. Kedua hasil di atas mengindikasikan bahwa metode binomial tree
yang adalah model diskret konvergen dengan model kontinu Black- Scholes dalam penentuan nilai opsi call tipe Eropa. Hal ini sebagai suatu
legitimasi untuk dapat menentukan nilai opsi tipe Amerika menggunakan metode binomial tree
karena secara analitik model Black-Scholes tidak dikembangkan
untuk menentukan nilai opsi call tipe Amerika.
Bab III Model Penentuan Nilai Opsi
3.1 Tinjauan Singkat Perdagangan Kontrak Opsi Saham di BEI
Sejak diperdagangkan pertama kali pada Oktober 2004, perdagangan kontrak opsi saham di BEI tidak stabil, bahkan cenderung menurun dan berlanjut
dengan ditutupnya untuk sementara waktu perdagangan KOS sejak periode tahun 2009 – 2011. Tetapi bersamaan dengan perbaikan sistem perdagangan dan prestasi
BEI sebagai salah satu bursa yang layak investasi pada akhir tahun 2011, maka di tahun 2012 otoritas BEI melakukan revitalisasi perdagangan produk derivatif dan
merencanakan untuk memperdagangkan kembali KOS. Perdagangan KOS periode tahun 2004 – 2008 dikontrol dan diatur oleh
otoritas BEI dengan menetapkan saham-saham dari PT Telekomunikasi Indonesia, PT Astra Internasional, PT Bank Central Asia, PT Indofood Sukses Makmur dan
PT HM Sampoerna sebagai saham-saham yang layak untuk dijadikan sebagai saham dasar underlying assets dalam perdagangan KOS. Otoritas BEI juga
mengeluarkan surat pengumuman tentang nomor seri opsi call disertai penentuan harga strike price, batas weighted moving average WMA dan waktu jatuh tempo
expiration date setiap tiga bulan sekali dalam setahun. Sebagai contoh nomor
seri CINDF2275, C digit ke-1 menyatakan opsi call yang akhir masa berlakunya pada hari bursa terakhir bulan Maret, INDF digit ke-2 s.d 5
menyatakan kode saham induk PT Indofood Sukses Makmur Tbk, sedangkan
angka 2275 digit ke-6 s.d 10 merupakan strike price.
Perdagangan KOS di BEI memiliki spesifikasi bisnis yang berbeda dengan perdagangan opsi saham di beberapa bursa dunia. Spesifikasi bisnis
tersebut antara lain, satu surat kontrak KOS terdiri dari sepuluh ribu saham, waktu jatuh tempo tiga bulan sekali dalam setahun, tipe opsi adalah tipe Amerika dimana
pemegang hak opsi dapat mengeksekusi haknya setiap saat sampai waktu jatuh
tempo, penyelesaian hak untuk call option adalah WMA-K secara tunai sehari setelah eksekusi untuk opsi call dan akan terjadi eksekusi secara otomatis apabila
WMA bergerak mencapai barrier B=1.1K untuk opsi call dan pemegang hak opsi mendapat payoff sebesar B – K.
3.2 Mekanisme Perdagangan Kontrak Opsi Saham
Pergerakan harga KOS di Bursa Efek Indonesia diformulasikan kedalam pergerakan harga saham dengan weighted moving average WMA yang dihitung
dengan menggunakan formula berikut Gunardi et al. 2006 ,
00 .
10 30
. 9
00 .
10 30
. 9
15 .
10 01
. 10
∑ ∑
= =
= =
−
=
t t
t t
t t
t
Q Q
P P
3.1 Dimana
t
P
adalah harga saham pada waktu t, dan
t
Q
besarnya volume transaksi. Publikasi sesi pertama muncul pada waktu 10.00.01 yaitu harga saham dengan
WMA setelah waktu 09.45 – 10.15 dan seterusnya. Harga saham dengan WMA pada sesi kedua akan dipublikasikan mulai pada 12.00.01, kecuali untuk hari
Jumat. Pada hari Jumat, harga saham dengan WMA terakhir pada sesi pertama di pagi hari adalah 11.30.01. Pada siangnya yaitu sesi kedua, publikasi pertama pada
14.15.01 dan yang terakhir pada 16.00.01. Jadi dari Senin – Kamis dibagi dalam 19 periode untuk setiap 15 menit dari publikasi sebelumnya. Periode ini diberi
nomor dari 1,2,…,19. Pada hari Jumat hanya ada 17 periode. Kontrak opsi saham dapat dieksekusi setiap waktu sepanjang periode kontrak opsi saham tersebut
diperdagangkan hingga masa berakhirnya atau pada waktu harga saham dengan WMA mencapai barrier batas dimana disyaratkan bahwa B = 1.1K untuk harga
opsi call. Jika kontrak opsi dieksekusi pada waktu t dan harga saham dengan WMA tidak mencapai atau melewati barrier maka pembayaran payoff adalah
perbedaan antara harga strike price dan harga saham dengan WMA terakhir yang dipublikasikan yaitu WMA – K untuk opsi call. Pembayaran payoff ini
dibayarkan pada esok harinya. Jika harga saham dengan WMA mencapai dan melewati barrier maka akan terjadi eksekusi secara otomatis dan pemilik dari
kontrak opsi akan langsung mendapat payoff sebesar B – K untuk kasus opsi call
.
