Dari Gambar 2 di atas, misalkan selang waktu [0,T] dibagi menjadi N sub selang yang sama panjang dengan titik bagi 0 = t
t
1
...t
N
= T dengan t
j
=
t j
Δ
dan
N T
t =
Δ , dengan N menyatakan waktu perdagangan. Dimisalkan
j j
t S
S =
adalah harga saham pada saat t
j
dan diasumsikan Raymond 2009: 1. Dalam selang waktu
t Δ
, harga saham S dapat naik menjadi S.u dan turun menjadi S.d dengan 0d1u.
2. Peluang harga saham naik p dan peluang harga saham turun 1-p. 3. Ekspektasi return harga saham dengan risk-free interest rate r,
t r
j j
e S
S E
Δ +
= ]
[
1
dan variansinya ]
1 [
] [
2
2 2
1
− =
Δ Δ
+ t
t r
j j
e e
S S
Var
σ
memenuhi kondisi risk-neutral valuation dan berdistribusi lognormal.
2.9.3 Penentuan Nilai Parameter Model Binomial Tree
Dari penjelasan di atas, dapat diketahui ada tiga buah parameter yaitu u, d, dan p yang nilainya belum diketahui. Ketiga parameter tersebut dapat diperoleh
dengan menyamakan ekspektasi dan variansi model binomial dengan model kontinu yaitu Raymond 2009,
d p
S pu
S e
S
i i
t r
i
1 −
+ =
Δ
⇔
d p
pu e
t r
1 −
+ =
Δ
2.31 dari 2.31 didapat nilai
d u
d e
p
t r
− −
=
Δ
. Dan diketahui variansinya adalah
[ ]
2 1
2 1
1
] [
] [
+ +
+
− =
i i
i
S E
S E
S Var
2.32
t r
t r
e d
p pu
e e
t
Δ Δ
− −
+ =
− ⇔
Δ
2 2
2 2
1 1
2
σ
2 2
2
1
2
d p
pu e
t r
− +
= ⇔
Δ +
σ
Sedangkan persamaan ketiga ditentukan sendiri. Pilihan yang sering digunakan ud = 1 2.33
yang solusinya adalah 1
2
− +
=
β β
u ,
1
2
− −
=
β β
d , dan
d u
d e
p
t r
− −
=
Δ
2.34
t r
t r
e e
Δ +
Δ −
+ =
2
2 1
σ
β
Solusi di atas diselesaikan dengan menggunakan rumus solusi persamaan kuadrat pada persamaan yang terbentuk. Jika
→ Δt
, maka dengan menggunakan ekspansi
2 1
2
x x
e
x
+ +
= dan mengabaikan suku
2 ,
≥ Δ
n t
n
diperoleh
t
e u
Δ
=
σ
,
t
e d
Δ −
=
σ
, dan d
u d
e p
t r
− −
=
Δ
2.35 yang merupakan model Cox et al. 1979.
proses penurunan formula 2.35 lihat lampiran 3.
2.9.4 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Diskret
Proses perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial tree
dengan suku bunga diskret adalah sebagai berikut Cox et.al 1979. Didefinisikan harga saham pada waktu T-1 yaitu
1 −
T
S
. Maka pada waktu T harga saham tersebut akan bergerak naik dengan faktor u atau bergerak turun dengan
faktor d dimana 1 + d 1 1 + u. Perhatikan ilustrasi di bawah ini
1 ,
1
−
+ =
T u
T
S u
S
1 −
T
S
1 ,
1
−
+ =
T u
T
S d
S Jika
T
c
menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka
{ }
K S
u maks
c
T u
T
− +
=
−1 ,
1 ,
1 −
T
c
{ }
K S
d maks
c
T d
T
− +
=
−1 ,
1 ,
Pada waktu T-1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri dari saham S dan obligasi sebesar B yang akan memberikan pembayaran payoff yang sama dengan
payoff opsi call pada waktu T
B r
S u
T
+ +
Δ +
−
1 1
1
B S
T
+ Δ
−1
B r
S d
T
+ +
Δ +
−
1 1
1
Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu T diperoleh
u T
T
c B
r S
u
, 1
1 1
= +
+ Δ
+
−
2.36
d T
T
c B
r S
d
, 1
1 1
= +
+ Δ
+
−
2.37 Setelah diselesaikan, solusi sistem persamaan linier 2.36 dan 2.37 adalah
1 ,
, −
− −
= Δ
T d
T u
T
S d
u c
c 2.38
r d
u c
d c
u B
u T
d T
+ −
+ −
+ =
1 1
1
, ,
2.39 proses penurunan formula 2.38 dan 2.39 lihat lampiran 4
dimana
Δ
menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas resiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah
Δ
saham dan satu opsi call.
Selanjutnya jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage memberikan payoff yang sama, maka pada waktu T-1 harus mempunyai nilai yang
sama. Selanjutnya substitusi persamaan 2.38 dan 2.39 kedalam persamaan berikut, didapat
B S
c
T T
+ Δ
=
− −
1 1
r d
u c
d c
u S
S d
u c
c
u T
d T
T T
d T
u T
+ −
+ −
+ +
− −
=
− −
1 1
1
, ,
1 1
, ,
r d
u c
r u
c d
r
d T
u T
+ −
− +
− =
1
, ,
2.40 Dengan mensubstitusikan
d u
d r
p −
− =
, dan
d u
r u
p −
− =
− 1
diperoleh
r c
p pc
c
d T
u T
T
+ −
+ =
−
1 1
, ,
1
2.41 Persamaan 2.41 merupakan persamaan untuk menentukan nilai opsi call tipe
Eropa dengan metode binomial tree suku bunga diskret satu langkah. Selanjutnya dengan cara yang sama dapat diturunkan untuk metode binomial tree dua langkah
dan n-langkah sebagai berikut
2 ,
2 ,
, 2
2
1 1
1 2
r c
p c
p p
c p
c
dd T
ud T
uu T
T
+ −
+ −
+ =
−
2.42
n n
j T
j n
j n
T
r K
s p
p j
n c
+ −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
∑
= +
− −
1 1
2.43
2.9.5 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Kontinu
