[ ]
ud uu
t r
u
f p
pf e
f −
+ =
Δ −
1 2.49
[ ]
dd ud
t r
d
f p
pf e
f −
+ =
Δ −
1 2.50
[ ]
d u
t r
f p
pf e
f −
+ =
Δ −
1 2.51
Selanjutnya substitusikan persamaan 2.49 dan 2.50 kedalam persamaan 2.52 diperoleh
[ ]
dd ud
uu t
r
f p
f p
p f
p e
f
2 2
2
1 1
2 −
+ −
+ =
Δ −
2.53 Dengan cara yang sama dapat dibuat formula generalisasi sebagai berikut
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
∑
= +
− Δ
− n
j n
j n
j t
nr
K S
p p
j n
e f
1
2.54 Persamaan 2.53 merupakan formula untuk penentuan nilai opsi dua langkah
sedangkan persamaan 2.54 merupakan nilai opsi n-langkah.
2.9.6 Rasio Lindung Nilai
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
dS uS
c c
d u
− −
= Δ
2.55 Dengan
u
c
dan
d
c
adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun, sedangkan
uS
dan
dS
merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan
memegang
Δ
lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas resiko riskless
portofolio .
2.9.7 Metode Binomial Tree dengan Dividen
Metode binomial tree juga dapat digunakan untuk menentukan nilai opsi saham dengan pembayaran dividen. Jika ada asumsi pembagian dividen secara
tunggal maka metode binomial tree dapat digunakan untuk menganalisis pergerakan harga naik dan turun mengikuti yang sudah dijeaskan sebelumnya.
Jika waktu
t i
Δ
adalah waktu dimana harga opsi saham sebelum menjadi ex- dividen maka node dari binomial tree yang berkorespondesi dengan harga opsi
saham menjadi
,
j i
j o
d u
S
−
i j
,..., 1
, =
2.56 Dimana u dan d didefinisikan seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya. Jika
t i
Δ
adalah waktu setelah harga opsi saham menjadi ex-dividen maka node yang berkorespondensi dengan harga saham menjadi
, 1
j i
j o
d u
S
−
−
δ i
j ,...,
1 ,
=
2.57 dengan
δ
adalah dividen yield. Untuk kondisi ini diberikan ilustrasi Gambar 3 sebagai berikut.
Sumber: Hull 2006
Gambar 3 Metode binomial tree dengan dividen.
2.9.8 Metode Binomial Tree untuk Opsi Call Tipe Amerika
Model Black-Scholes dirancang untuk menghitung nilai opsi pada waktu jatuh tempo, tanpa menghitung nilai opsi dari setiap node atau jalur yang
dilalui oleh opsi tersebut sepanjang waktu hidupnya. Akibatnya opsi tipe Amerika sulit ditentukan dengan model Black-Scholes. Metode binomial tree dapat
menghitung nilai opsi pada setiap node sepanjang waktu hidup dari opsi tersebut. Nilai payoff pada saat jatuh tempo untuk sebuah opsi call dihitung dengan
menggunakan rumus
{ }
N i
K S
C
N i
N i
,... 1
, ,
max
, ,
= ∀
− =
2.58 Selanjutnya berdasarkan pergerakan saham, metode binomial bergerak mundur
dari i = N – 1 ke i=0 secara rekursif. Harga suatu opsi pada saat ke-i dihitung dengan menggunakan rumus
1 ,
1 1
, ,
1
+ +
+ Δ
−
− +
=
j i
j i
t r
j i
V p
pV e
V ,
,... 1
, j
i =
∀ ,...,
2 ,
1 −
− =
∀ N
N j
2.59 Dengan V
i,j
= C
i,j
untuk perhitungan opsi call. V
i,j
merupakan nilai present value dari harga opsi pada saat indeks j+1. Nilai V
0,0
yang diperoleh merupakan harga opsi tersebut pada saat sekarang Raymond 2009.
Perhitungan untuk opsi tipe Amerika memerlukan sedikit modifikasi. Karena pada opsi Amerika terdapat fasilitas early exercise, persamaan 2.59
ditambahkan dengan memasukkan perbandingan gain yang diperoleh jika eksekusi dilakukan pada saat sekarang dan ditangguhkan hingga sub selang
berikutnya. Sehingga untuk opsi Amerika, diperoleh untuk opsi call Amerika
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
− +
− =
+ +
+ Δ
−
4 4
4 4
4 3
4 4
4 4
4 2
1 4
3 42
1
diexercise tidak
j i
j i
t r
exercise early
j i
j i
C p
pC e
K S
C
1 ,
1 1
, ,
,
1 ,
, max
2.60
, 1
2 ,...
1 ,
+ =
∀ j
i ,...,
2 ,
1 −
− =
∀ N
N j
Untuk memperjelas hal diatas dapat dilihat ilustrasi seperti berikut ini. Misalkan diberikan harga saham 100, strike price 100, volatilitas 30, tingkat
suku bunga r = 5, T = 1 tahun dan digunakan 4-step atau langkah untuk binomial tree
. Selanjutnya dapat dihitung nilai dari
25 .
4 1 =
= =
Δ n
T t
1618 .
1
25 .
30 .
= =
=
Δ
e e
u
t σ
8607 .
1 = =
u d
5043 .
8607 .
1618 .
1 8607
.
25 .
05 .
.
= −
− =
− −
=
Δ
e d
u d
e p
t r
Selan form
didap berik
G njutnya unt
mula 2.59. pat binomia
kut ini.
Sumb
Gambar 4 Ko tuk mengh
Akhirnya d al
tree leng
Sum
Gam
ber: Mayer 20
onstruksi bi hitung setia
dengan sedi gkap denga
mber: Mayer 2
mbar 5 Harg
010
inomial tree
ap nilai op ikit kalkulas
an setiap ha
2010
a opsi pada e
untuk opsi psi pada no
si menggun arga opsi p
a tiap node. i Eropa.
ode dapat
nakan form ada tiap no
digunakan mula di atas
ode seperti
Untuk me tipe Eropa
bawah ini
Sekarang Amerika s
Dengan m opsi pada
nilai V a
tersebut di max156.8
besar, ma Amerika
menentuka enghitung op
a dengan n .
Ga perhatikan
sebagai beri
menggunaka a binomial t
adalah 58.0 ibandingkan
83-100=5 ax58.07 ,
adalah 58 an mana y
psi call tipe ilai tertingg
Sumber:
ambar 6 Nod ilustras di
ikut
Sum
an backward tree seperti
07 seperti y n dengan ni
56.83. Maka 56.83=58
8.07. Hal ang merup
e Amerika d gi. Selanjutn
: Mayer 2010
de dengan n
bawah ini
mber: Mayer 2
d induction i ilustrasi d
yang sudah ilai dari eks
a dengan mu 8.07. Jadi n
ini dapat akan node
dapat dimul nya dibuatl
nilai maxim dimana aka
2010
, dimulai da di atas. Mak
h dihitung s ekusi awal
udah dapat nilai pada
dikerjakan yang mem
lai dengan m lah binomia
mum. an ditentuk
ari bagian p ka hasil pe
sebelumnya pada node m
diketahui m node
untuk untuk set
mberikan nil menghitung
al tree sepe
an opsi cal
paling atas h erhitungan u
a. Sekarang mula-mula,
mana yang p k opsi call
iap node u lai opsi ter
g opsi erti di
ll tipe
harga untuk
g nilai yaitu
paling l
tipe untuk
rbesar
apab tipe A
2.9.9
barri perge
opsi barri
berik
S
Jika hidup
perm
mela pada
mele ila dibandin
Amerika.
9 Metode B
Metod ier
tipe up erakan harg
menjadi n ier
selama kut, misalka
100 =
,
K
u = harga saham
p opsi terse masalahan di
Denga akukan perh
a waktu jat ewati barrie
ngkan deng
Binomial Tr
de binomial p-and-out c
ga saham m nol, bahkan
jangka w an paramete
100 =
K
,
σ
= 1.1618, d m bergerak
ebut, maka o i atas, maka
Sum
Gambar an opsi tipe
hitungan sep tuh tempo.
er maka nil
gan node aw
ree untuk O
tree dapat call
. Untuk mencapai ba
n jika harga waktu hidup
er-parameter
30 .
= σ
,
= r
= 0.8607, p naik menc
opsi tersebu a dikonstruk
mber: Mayer 20
7 Opsi bar Eropa dan
perti pada b Perlu diin
lai opsi men wal, maka h
Opsi Barrie
digunakan u k opsi bar
rrier yang
a saham k pnya. Agar
r yang diber
05 .
=
, T= p
= 0.5043 d apai 150 p
ut menjadi ksikanlah ko
010
rier tipe up
n tipe Amer bagian sebe
ngat bahwa njadi nol. D
hasilnya itu
er Tipe up-a
untuk meng rrier
tipe sudah diten
embali ber r lebih jela
rikan adalah 1 tahun , n
dan B = 15 pada node m
tidak berha ondisi berik
-and-out ca rika, langka
elumnya ya a ketika ha
Dapat diliha adalah nila
and-out Cal
ghitung nila up-and-out
ntukan maka rgerak turun
as perhatik h
= 4 ,
= Δt
0. manapun se
arga. Untuk kut ini.
all .
ah selanjutn aitu melihat
arga saham at pada gam
ai opsi call
ll
ai dari opsi t call
jika a nilai dari
n dibawah kan contoh
25 .
,
lama masa menjawab
nya adalah t nilai opsi
m bergerak mbar diatas
node dimana harga saham bergerak mencapai 156.83 dan bergerak kebawah
menjadi 134.99. Jika harga saham bergerak melalui jalur ini, maka nilai opsi menjadi tidak berharga.
Pada node tersebut kelihatannya akan mengalami masalah karena nilai opsi menjadi nol. Tetapi dapat dihitung semua kemungkinan jalur
yang dapat dilalui oleh harga saham tersebut pada konstruksi binomial tree. Seperti yang sudah diketahui bahwa ada pembayaran untuk opsi pada setiap jalur
yang dilalui oleh harga saham tersebut. Menggunakan penjelasan informasi diatas, dapat dihitung nilai dari opsi barrier sekitar node tersebut.
Langkah yang dilakukan adalah mencari probabilitas dari suatu jalur, yaitu dengan mengalikan
setiap probabilitas dari jalur naik dan turun pada jalur tersebut. Sebagai contoh jika jalur itu memiliki dua pergerakan naik, satu turun dan kemudian naik lagi
maka total probabilitasnya adalah : pp1-pp. Sehingga dapat dihitung total probabilitasnya adalah
k m
p p
Q −
= 1
2.61 Terdapat dua jalur yang berbeda pada satu step yaitu naik dan turun. Jika dibuat
dua step maka pada kedua node terakhir dari satu step, dibuat menjadi empat cabang juga yaitu masing-masing naik dan turun. Jika cara ini dikerjakan terus
dan dibuat suatu generalisasi formulanya, maka kemungkinan n-step pada binomial
tree adalah
n
2
kemungkinan jalur yang berbeda. Menjadi jelas untuk menghitung semua kemungkian yang dapat dibuat untuk melihat konstruksi tree
secara keseluruhan. Formula yang diberikan
d u
t r
V p
pV e
V −
+ =
Δ −
1 2.62
Didalam pernyataan nilai opsi pada node tertentu sebenarnya adalah rata-rata dari setiap perbedaan bobot yang muncul karena probabilitas. Jadi akan dirubah untuk
u
V
dengan outcome 1
1
O
dan
d
V
dengan outcome 2
2
O
. Kemudian p adalah probabilitas dari
1
O
dan
1
Q
dan 1-p adalah probabilitas dari
2
O
juga
2
Q
. Dan diketahui pada suatu kontruksi pohon tersebut ada banyak outcome, sehingga
dapat digeneralisasi suatu formula sebagai berikut
n n
O Q
O Q
O Q
O Q
e V
T r
2 2
3 3
2 2
1 1
.
... +
+ +
+ =
−
2.63 Jadi dipunyai alternatif jalan yang lain untuk menentukan harga opsi pada
binomial tree , salah satunya adalah membuat penggunaan dari setiap perbedaan
jalur dari binomial tree tersebut, termasuk untuk menghitung nilai opsi barrier tipe up-and-out call. Melihat pada contoh tadi maka proses perhitungan untuk
menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika adalah sebagai berikut.
Sumber: Mayer 2010
Gambar 8 Enambelas jalur opsi barrier. Salah satu cara untuk membuktikan bahwa telah dibuat semua jalur dengan benar
adalah jumlah dari semua probabilitas yang mungkin adalah satu. Dapat dilakukan perhitungan seperti dibawah ini dengan melihat pada semua probabilitas yang
dihasilkan dari jalur diatas 0.06467789436 + 40.06357492015 + 60.06249075534
+ 40.06142507917 + 0.06037757633 = 1.000000000 Telah dibuktikan bahwa semua kemungkinan probabilitas pada setiap jalur adalah
benar. Selanjutnya menggunakan formula 2.63 dapat dihitung nilai opsi yang dicari yaitu:
n n
O Q
O Q
O Q
O Q
e V
T r
2 2
3 3
2 2
1 1
.
... +
+ +
+ =
−
99 .
34 5
0635749201 .
3 5
0635749201 .
6 0646778943
.
1 .
05 .
+ +
=
−
e 0603775763
. 7
0614250791 .
4 4
0624907553 .
6 +
+
= 6.35 Dengan binomial tree nilai yang diperoleh adalah 6.35. Nilai sebenarnya dari
opsi barrier tipe up-and-out call ini adalah 5.13. Jadi dengan menggunakan binomial tree
dapat dihitung nilai pendekatan untuk opsi barrier tipe up-and-out call
.
2.9.10 Kajian Numerik Kekonvergenan Metode Binomial Tree
