86
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
1. Diberikan suatu matriks
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
13 5
6 1
2 4
6 8
2 4
10 3
4 1
3 7
6 5
1 M
a. Berapakah banyaknya baris? b. Berapakah Banyaknya kolom?
c. Tuliskan elemen-elemen baris ke-2.
d. Tuliskan elemen-elemen baris ke-4. e. Tuliskan elemen-elemen kolom ke-3.
f. Tuliskan elemen-elemen kolom ke-1.
g. Sebutkan elemen baris ke-2 kolom ke-3. h. Sebutkan elemen baris ke-4 kolom ke-5.
i. Nyatakan nama untuk elemen-elemen -3, 10, 4, 13.
j. Nyatakan nama untuk elemen-elemen 1, 4, -3, 0, 10.
k. Nyatakan nama untuk elemen 13.
l. Nyatakan nama untuk elemen -8.
2. Buatlah matriks sembarang yang mempunyai ketentuan sebagai berikut. a. Mempunyai satu baris dan tiga kolom.
b. Mempunyai tiga baris dan dua kolom. c. Mempunyai empat baris dan satu kolom.
3. Tuliskan ordo dari matriks-matriks berikut.
a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
2 6
10 A
c.
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
4 8
1 6
4 1
2 A
b.
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
=
4 5
9 2
A d.
4 1
2 A
− =
4. Tentukan transpose dari matriks-matriks pada soal nomor 3 di atas. 5. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan-persamaan matriks di bawah ini.
a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+
3 9
1 y
x 3
c.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
1 7
y x
y x
2 b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
4 x
6 2
y 2
x 2
d.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
+
3 x
10 2
y 2
y z
6 1
x
87
BAB I I I Matriks
e.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
−
8 x
5 4
y 4
1 x
2 f.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
+ −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
+
30 3
x y
2 x
3 30
5 y
2 y
z 6
3 x
2 6. Tentukanlah nilai x, y, z, a, dan b dari persamaan matriks di bawah ini.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
3 z
2 2
8 6
x 5
1 y
4
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
−
3 b
2 8
2 z
2 a
3 5
x y
2
7. Jika A = B
T
dimana
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
1 1
1 1
1 A
dan
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
− +
=
1 w
2 y
3 z
y x
1 y
x B
Tentukanlah w, x, y, dan z.
C. Operasi pada Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
¾
menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks;
¾
menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo baris x kolom kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat
dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.
Contoh 16
Diketahui:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
1 6
1 2
4 5
A ,
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
3 4
6 5
5 2
B dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
8 2
1 C
A + B =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
+ +
− −
+ −
+ −
+
4 10
5 7
9 3
3 1
4 6
6 1
5 2
5 4
2 5
A – B =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− −
− −
− −
− −
−
4 2
7 3
1 7
3 1
4 6
6 1
5 2
5 4
2 5
A + C tidak dapat dijumlahkan, karena ordo kedua matriks tersebut tidak sama. Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi
penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut: a. A + B + C = A + B + C sifat asosiatif,
b. A + B = B + A sifat komutatif, c.
AB + C = AB + AC sifat distributif,
88
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
d. AB – C = AB – AC, e. A + 0 = 0 + A = A,
f. terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.
2. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Skalar k
Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen entri matriks A dengan skalar k.
Contoh 17
Diketahui
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
6 4
2 A
maka 4A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
⋅ ⋅
⋅ −
⋅
24 16
8 6
4 4
4 4
2 4
-2A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− −
⋅ −
12 8
4 6
2 2
4 2
2 2
4A + 3A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
42 28
14 18
12 6
24 16
8 6
4 2
3 6
4 2
4
Contoh 18
Tentukan a, b, dan c jika diketahui
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
1 3
2 P
,
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 b
2 c
a Q
, dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
8 3
1 2
R sehingga berlaku P – 2Q = R.
Jawab:
P – 2Q = R
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
1 3
2 – 2
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 3
1 2
-2
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 3
1 2
–
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
1 3
2 =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 2
4
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
−
8 2
4 2
1 =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
4 1
2 dari persamaan matriks tersebut didapat
a = 0 b = 1
c – 2 = 2
⇔
c = 4
Contoh 19
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. a. 4X –
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 2
2 1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
2 2
14 7
b
. ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
1 5
2 +
2 1 X = 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
4 1
3
