Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

68 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 2. Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut. a. Faktorisasi dengan menggunakan sifat, jika q p × = 0 maka p = 0 atau q = 0 b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut. ™ Pastikan koefisien dari x 2 adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. ™ Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. ™ Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan kita manipulasi sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana. c. Rumus Kuadrat, yaitu 2a 4ac b b x 2 1.2 − ± − = 3. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel peubah adalah dua. Langkah-langkah menentukan HP nya adalah sebagai berikut. • Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat dan cari akarnya. • Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut dan tentukan tanda positif atau negatif pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval tersebut. • HP diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. 4. Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D dengan D = b 2 – 4ac. 5. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Jika D 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda. b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar. c. Jika D 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil akar imajiner. d. Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan. 6. Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku rumus berikut. a c x x dan a b x x 2 1 2 1 = ⋅ − = + 1. Selidikilah sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini. a. x 2 – 2x + 1 = 0 d. 2x 2 – 2x = 0 b. x 2 + 4x + 3 = 0 e. x 2 – 10 = 0 c. x 2 + x + 1 = 0 f. 3x 2 – 2x + 10 = 0 2. Dengan menggunakan pada soal nomor 1, tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya. 69 BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan 3. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 + 4x + 3 = 0, tentukanlah a. x 1 + x 2 d. 1 2 2 2 2 1 x x x x + b. x 1 . x 2 e. 2 1 1 2 x x x x + c. 2 2 2 1 x x + f. 2 1 x 1 x 1 + Untuk persamaan pada soal nomor 4 – 6, tentukanlah a. x 1 + x 2 d. 1 2 2 2 2 1 x x x x + b. x 1 . x 2 e. x 1 – x 2 2 c. 2 2 2 1 x x + f. 2 1 1 2 x x x x + 4. x 2 + 2x + 1 = 0 5. x 2 – x = 0 6. x 2 – 2 = 0

E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat ¾ menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar yang diketahui, ¾ menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, ¾ menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

1. Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar x – x 1 x – x 2 = 0 x 2 – x 1 + x 2 x + 2 1 x x ⋅ = 0 Contoh 26 Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut. a. -2 dan 5 c. 3 2 dan -2 b. 1 – 2 dan 1 + 2 d. - 5 1 dan 2 3 Jawab: a. Menggunakan rumus perkalian faktor Misalkan x 1 = -2 dan x 2 = 5 x – -2x – 5 = 0 x + 2x – 5 = 0 x 2 – 5x + 2x – 10 = 0 x 2 – 3x – 10 = 0 Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar Misalkan x 1 = -2 dan x 2 = 5 x 1 + x 2 = -2 + 5 dan 2 1 x x ⋅ = 5 2 ⋅ − = 3 = -10 x 2 – x 1 + x 2 x + x 1 . x 2 = 0 x 2 – 3x + -10 = 0 x 2 – 3x – 10 = 0 70 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi b. x 1 = 1 – 2 dan x 2 = 1 + 2 gunakan rumus jumlah dan hasil kali x 1 + x 2 = 1 – 2 + 1 + 2 = 2 2 1 x x ⋅ = 1 – 2 1 + 2 = -1 x 2 – x 1 + x 2 x + 2 1 x x ⋅ = 0 x 2 – 2x + -1 = 0, sehingga x 2 – 2 x –1 = 0 c. x 1 = 3 2 dan x 2 = -2 x 1 + x 2 = 3 2 + -2 = 3 6 2 − = - 3 4 2 1 x x ⋅ = 2 3 2 − ⋅ = - 3 4 x 2 – x 1 + x 2 x + x 1 . x 2 = 0 x 2 – 3 4 − x + 3 4 − = 0, sehingga 3x 2 + 4 x – 4 = 0 d. x 1 = - 5 1 dan x 2 = 2 3 x 1 + x 2 = - 5 1 + 2 3 = 10 15 2 + − = 10 13 2 1 x x ⋅ = - 5 1 . 2 3 = 10 3 − x 2 – x 1 + x 2 x + x 1 . x 2 = 0 x 2 – 10 13 x + 10 3 − = 0, sehingga 10x 2 – 13 x – 3 = 0

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar- akar Persamaan Kuadrat Lain

Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-cotoh soal di bawah ini. Contoh 27 Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x 2 – 2x – 10 = 0. Jawab: Misalkan akar-akar persamaan x 2 – 2x – 10 = 0 adalah x 1 dan x 2 , Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -2 dan c = -10, sehingga 2 1 2 a b x x 2 1 = − = − = + − dan 10 1 10 a c x x 2 1 − = − = = ⋅ Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah α dan β yang akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau α = 2x 1 dan β = 2x 2 . α + β = 2x 1 + 2x 2 dan β ⋅ α = 2 2 1 x 2 x ⋅ = 4 2 1 x x ⋅ = 2x 1 + x 2 = 2 2 ⋅ = 4 = 4-10 = -40