Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
103
BAB I I I Matriks
4 3
5 4
4 3
5 4
1 1
4 3
5 4
5 3
4 4
1 A
1
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− ⋅
− −
⋅ =
−
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
− +
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛−
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
10 12
16 6
2 8
4 2
4 3
5 4
y x
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah { 12, 10} . Di samping menggunakan cara invers dapat juga penyelesaian sistem persamaan linier
dicari dengan menggunakan kaidah Cramer. Jika
⋅
A X = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det A
≠
0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik tunggal. Penyelesaian tersebut adalah
A det
A det
x ,.
A det
A det
x ,
A det
A det
x
n n
2 2
1 1
= =
=
dimana A
j
adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
2 1
c c
C
Contoh 36
Gunakan kaidah Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini.
3x – 5y = 11 2x + y = 3
Jawab:
Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
3 11
y x
1 2
5 3
, dari bentuk ini didapat.
13 5
2 1
3 1
2 5
3 A
det dan
1 2
5 3
A
= −
⋅ −
⋅ =
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
26 15
11 5
3 1
11 1
3 5
11 A
det dan
1 3
5 11
A
1 1
= +
= −
⋅ −
⋅ =
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
13 11
2 3
3 3
2 11
3 A
det dan
3 2
11 3
A
2 2
− =
⋅ −
⋅ =
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
sehingga 1
13 13
A det
A det
y dan
2 13
26 A
det A
det x
2 1
− =
− =
= =
= =
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah { 2, -1}
104
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Contoh 37
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan menggunakan kaidah Cramer. x + 2z = 7
-3x + 4y + 6z = 7 -x – 2y + 3z = 12
Jawab:
Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− −
12 7
7 z
y x
3 2
1 6
4 3
2 1
, dari bentuk ini didapat
44 12
8 12
12 2
4 1
3 1
3 2
1 6
4 3
2 1
A det
, 3
2 1
6 4
3 2
1 A
= −
+ +
+ +
= −
− −
− −
− =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
44 84
96 28
84 2
4 12
7 7
3 2
12 6
4 7
2 7
A det
, 3
2 12
6 4
7 2
7 A
1 1
= −
+ −
− +
= −
− =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
88 63
72 14
72 42
21 12
7 7
1 3
1 3
12 1
6 7
3 2
7 1
A det
, 3
12 1
6 7
3 2
7 1
A
2 2
− =
+ −
+ −
− =
− −
− −
= ⎟⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− =
132 14
28 42
48 2
4 1
3 1
12 2
1 7
4 3
7 1
A det
, 12
2 1
7 4
3 7
1 A
3 3
= −
+ +
+ +
= −
− −
− −
− =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
Dengan demikian, 3
44 132
A det
A det
z dan
2 44
88 A
det A
det y
, 1
44 44
A det
A det
x
3 2
1
= =
= −
= −
= =
= =
=
Contoh 38
Tentukanlah matriks P dari persamaan matriks di bawah ini: a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⋅ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
−
2 1
4 P
5 3
3 2
b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⋅
5 3
2 1
1 1
3 1
2 P
Jawab:
a. Dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⋅ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
−
2 1
4 P
5 3
3 2
diperoleh persamaan:
⋅
A P = B, sehingga P = A
–1
B
⋅
P =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
− +
−
2 1
4 2
3 3
5 9
10 1
P =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ −
+ −
−
4 10
6 17
4 2
12 6
3 20
b. Dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⋅
5 3
2 1
1 1
3 1
2 P
diperoleh persamaan matriks P A
⋅
= B, sehingga P =
⋅
B A
–1
105
BAB I I I Matriks
Dari persamaan P =
⋅
B A
–1
, diperoleh banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan banyaknya baris matriks A
–1
. Dengan demikian
⋅
B A
–1
tidak dapat diselesaikan. Oleh karena itu, tidak ada matriks P dari persamaan matriks di atas.
Contoh 39
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos yang sama adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos.
Jawab:
Persoalan di atas diterjemahkan dalam bentuk model matematika dengan memisalkan harga tiap baju x dan harga tiap kaos y, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai
berikut. 3x + 2y = 280.000
x + 3y = 210.000
Sistem persamaan
⎩ ⎨
⎧ =
+ =
+
000 .
210 y
3 x
000 .
280 y
2 x
3 jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
000 .
210 000
. 280
y x
3 1
2 3
perkalian matriks tersebut berbentuk
⋅
A X = C dengan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
000 .
210 000
. 280
C dan
y x
X 3
1 2
3 A
3 1
2 3
7 1
3 1
2 3
2 1
3 3
1 A
1
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⋅
− ⋅
=
−
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
000 .
50 000
. 60
000 .
350 000
. 420
7 1
000 .
210 x
3 000
. 280
x 1
210.000 x
-2 280.000
x 3
7 1
210.000 280.000
3 1
2 3
7 1
y x
Harga 6 baju dan 5 kaos = 000
. 50
x 5
000 .
60 x
6 000
. 50
000 .
60 5
6
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= 550.000 Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp550.000,00.