Determinan Matriks Ordo Dua Determinan Matriks Ordo Tiga

96 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sarrus . Dengan langkah-langkah sebagai berikut. ™ Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan. ™ Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping. Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini. – – – 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A det = + + + = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 31 a 22 a 13 – a 32 a 23 a 11 – a 33 a 21 a 12 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 Contoh 26 Tentukan determinan dari matriks ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 4 1 4 5 3 2 1 M Jawab: | M | = 4 1 5 2 1 4 1 4 5 3 2 1 − − − − = 2 1 4 4 3 5 1 4 3 1 4 2 5 1 ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − = 0 – 8 + 0 – -15 + 16 + 0 = -8 – 1 = -9 Contoh 27 Determinan matriks ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 5 2 x 3 4 2 1 3 1 1 x Q adalah 5, tentukan nilai x Jawab: | Q | = x – 1 5 2 ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ 4 1 3x + 2 1 3 ⋅ − ⋅ – 3 2 x 3 ⋅ ⋅ – ⋅ − ⋅ 4 2 x – 1 – 1 1 5 ⋅ − ⋅ = x – 110 – 12x – 6 – 18x + 8x – 1 + 5 = 10x – 10 – 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5 = -12x – 19 | Q | = 5 -12x – 19 = 5 -12x = 5 + 19 -12x = 24 ⇔ x = -2 97 BAB I I I Matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 1 5 4 C C C C 22 21 12 11 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = 2 5 1 4 2 1 5 4 A Adj T

3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin

Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen a ij dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan -1 i+ j M ij dinyatakan oleh C ij dinamakan kofaktor entri a ij. Jika A adalah sembarang matriks persegi n x n dan C ij adalah kofaktor a ij , maka matriks C C C C C C C C C C C C nn 3 n 2 n 1 n n 2 23 22 1 2 n 1 3 1 2 1 11 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj A. Contoh 28 Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− = 4 5 1 2 A Jawab: Minor dari matriks A adalah M 11 = 4 M 21 = 1 M 12 = 5 M 22 = -2 Kofaktor dari matriks A adalah C 11 = -1 1+1 M 11 = 1 4 = 4 C 21 = -1 2+1 M 21 = -1 1 = -1 C 12 = -1 1+2 M 12 = -1 5 = -5 C 22 = -1 2+2 M 22 = 1-2 = -2 Matriks kofaktornya adalah Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga Contoh 29 Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 2 4 1 4 1 5 2 A Jawab: Minor dari matriks tersebut adalah: M 11 = 3 2 1 4 − − = 4 3 ⋅ – -2 ⋅ -1 = 10 M 23 = 2 4 2 − − = -2 ⋅ -2 – 4 0 ⋅ = 4 98 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi M 12 = 3 4 1 1 − = 1 3 ⋅ – ⋅ 4 -1 = 7 M 31 = 1 4 5 − = ⋅ 0 -1 – 4 5 ⋅ = -20 M 13 = 2 4 4 1 − = ⋅ 1 -2 – ⋅ 4 4 = -18 M 32 = 1 1 5 2 − − = - ⋅ 2 -1 – 1 5 ⋅ = -3 M 21 = 3 2 5 − = ⋅ 0 3 – -2 5 ⋅ = 10 M 33 = 4 1 2 − = -2 4 ⋅ – 1 0 ⋅ = -8 M 22 = 3 4 5 2 − = -2 3 ⋅ – 4 5 ⋅ = -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah C 11 = -1 1+1 M 11 = 1 10 ⋅ = 10 C 23 = -1 2+3 M 23 = -1 ⋅ 4 = -4 C 12 = -1 1+2 M 12 = -1 7 ⋅ = -7 C 31 = -1 3+1 M 31 = 1 ⋅ -20 = -20 C 13 = -1 1+3 M 13 = 1 ⋅ -18 = -18 C 32 = -1 3+2 M 32 = -1 ⋅ -3 = 3 C 21 = -1 2+1 M 21 = -1 10 ⋅ = -10 C 33 = -1 3+3 M 33 = 1 ⋅ -8 = -8 C 22 = -1 2+2 M 22 = 1 ⋅ -26 = -26 Matriks kofaktornya adalah ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 8 3 2 4 26 10 18 7 10 C C C C C C C C C 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = 8 4 8 1 3 26 7 2 1 10 8 3 2 4 26 1 18 7 10 A Adj T

4. I nvers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A -1 atau A = B -1 . Contoh 30 Dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 5 3 7 4 P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 4 3 7 5 Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers. Jawab: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 15 15 28 28 21 20 4 3 7 5 5 3 7 4 Q P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 12 12 35 35 21 20 5 3 7 4 4 3 7 5 P Q Karena PQ = QP = I , maka P = Q –1 dan Q = P –1 . Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah: A adj A det 1 A 1 = −