96
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan
Sarrus
. Dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan.
Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian
dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.
Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini. – – –
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a A
det
=
+ + + = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
– a
32
a
23
a
11
– a
33
a
21
a
12
=
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
+ a
32
a
23
a
11
+ a
33
a
21
a
12
Contoh 26
Tentukan determinan dari matriks
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
4 1
4 5
3 2
1 M
Jawab:
| M | = 4
1 5
2 1
4 1
4 5
3 2
1
− −
− −
= 2
1 4
4 3
5 1
4 3
1 4
2 5
1
⋅ ⋅
+ −
⋅ −
⋅ +
− ⋅
⋅ −
⋅ ⋅
− +
⋅ −
⋅ +
⋅ ⋅
−
= 0 – 8 + 0 – -15 + 16 + 0 = -8 – 1
= -9
Contoh 27
Determinan matriks
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
5 2
x 3
4 2
1 3
1 1
x Q
adalah 5, tentukan nilai x
Jawab:
| Q | = x – 1 5
2
⋅ ⋅
+
⋅ −
⋅
4 1
3x + 2
1 3
⋅ −
⋅
– 3
2 x
3
⋅ ⋅
–
⋅ −
⋅
4 2
x – 1 – 1
1 5
⋅ −
⋅
= x – 110 – 12x – 6 – 18x + 8x – 1 + 5 = 10x – 10 – 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5
= -12x – 19 | Q | = 5
-12x – 19 = 5 -12x = 5 + 19
-12x = 24
⇔
x = -2
97
BAB I I I Matriks
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
2 1
5 4
C C
C C
22 21
12 11
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
2 5
1 4
2 1
5 4
A Adj
T
3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin
Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen a
ij
dinyatakan oleh M
ij
dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan -1
i+ j
M
ij
dinyatakan oleh C
ij
dinamakan kofaktor entri a
ij.
Jika A adalah sembarang matriks persegi n x n dan C
ij
adalah kofaktor a
ij
, maka matriks
C C
C C
C C
C C
C C
C C
nn 3
n 2
n 1
n n
2 23
22 1
2 n
1 3
1 2
1 11
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj A.
Contoh 28
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛−
=
4 5
1 2
A
Jawab:
Minor dari matriks A adalah M
11
= 4
M
21
=
1 M
12
=
5 M
22
=
-2 Kofaktor dari matriks A adalah
C
11
= -1
1+1
M
11
= 1 4 = 4 C
21
= -1
2+1
M
21
= -1 1 = -1 C
12
= -1
1+2
M
12
= -1 5 = -5 C
22
= -1
2+2
M
22
= 1-2 = -2 Matriks kofaktornya adalah
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
Contoh 29
Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin dari
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
3 2
4 1
4 1
5 2
A
Jawab:
Minor dari matriks tersebut adalah: M
11
=
3 2
1 4
− −
= 4 3
⋅
– -2
⋅
-1 = 10 M
23
=
2 4
2
− −
= -2
⋅
-2 – 4 0
⋅
= 4
98
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
M
12
=
3 4
1 1
−
= 1 3
⋅
–
⋅
4 -1 = 7 M
31
=
1 4
5
−
=
⋅
0 -1 – 4 5
⋅
= -20 M
13
=
2 4
4 1
−
=
⋅
1 -2 –
⋅
4 4 = -18 M
32
=
1 1
5 2
− −
= -
⋅
2 -1 – 1 5
⋅
= -3 M
21
=
3 2
5
−
=
⋅
0 3 – -2 5
⋅
= 10 M
33
=
4 1
2
−
= -2 4
⋅
– 1 0
⋅
= -8 M
22
=
3 4
5 2
−
= -2 3
⋅
– 4 5
⋅
= -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah
C
11
= -1
1+1
M
11
= 1 10
⋅
= 10 C
23
= -1
2+3
M
23
= -1
⋅
4 = -4 C
12
= -1
1+2
M
12
= -1 7
⋅
= -7 C
31
= -1
3+1
M
31
= 1
⋅
-20 = -20 C
13
= -1
1+3
M
13
= 1
⋅
-18 = -18 C
32
= -1
3+2
M
32
= -1
⋅
-3 = 3 C
21
= -1
2+1
M
21
= -1 10
⋅
= -10 C
33
= -1
3+3
M
33
= 1
⋅
-8 = -8 C
22
= -1
2+2
M
22
= 1
⋅
-26 = -26 Matriks kofaktornya adalah
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
8 3
2 4
26 10
18 7
10 C
C C
C C
C C
C C
33 32
31 23
22 21
13 12
11
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
8 4
8 1
3 26
7 2
1 10
8 3
2 4
26 1
18 7
10 A
Adj
T
4. I nvers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan
sebaliknya, yaitu B = A
-1
atau A = B
-1
.
Contoh 30
Dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
5 3
7 4
P dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 3
7 5
Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers.
Jawab: ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
− −
+ −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− =
⋅
1 1
20 21
15 15
28 28
21 20
4 3
7 5
5 3
7 4
Q P
dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
− +
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⋅
1 1
20 21
12 12
35 35
21 20
5 3
7 4
4 3
7 5
P Q
Karena PQ = QP = I , maka P = Q
–1
dan Q = P
–1
. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:
A adj
A det
1 A
1
=
−