Rangkuman Determinan dan I nvers Matriks

106 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi – – – 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A det = + + + = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 31 a 22 a 13 – a 32 a 23 a 11 – a 33 a 21 a 12 3. Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor dinyatakan oleh M ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Sedangkan C ij = -1 i+ j M ij dinamakan kofaktor. Transpose matriks kofaktor A disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj A. 4. Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil kali A A B B ⋅ = ⋅ = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A –1 atau A = B –1 . 5. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah A adj A det 1 A 1 = − 6. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular , sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut matriks singular . 7. Pada invers matriks berlaku • A –1 –1 = A • A x B –1 = B –1 x A –1 • Jika A B ⋅ = I , maka B = A – 1 • Jika ⋅ A X = B maka X = A – 1 B ⋅ • Jika X A ⋅ = B maka X = B 1 A − ⋅ 8. Jika AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det A ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik tunggal. Penyelesaian tersebut adalah A det A det x ,. A det A det x , A det A det x n n 2 2 1 1 = = = dimana A j adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks C. Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers 1. 3x + 8y = -7 4. y = 8 – 2x x – 4y = 11 5x – 3y = 31 107 BAB I I I Matriks 2. x – 2y = -12 5x + 4y = 10 5. y = -3x – 11 y = 0,5x + 3 3. 4x + y = -19 -2x + y = 11 Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 6. x – 4y = 8 9. x – 3y + z = 10 2x + y = -2 2x – y = 4 4x – 3z = -5 7. 3x + y = 8 2x + 2y = 4 10 . x + y – z = -1 x – y + z = 4 8. x + 3y = -11 x – y – z = 1 2x – 6y = 14 11. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 1 7 X 3 4 1 2 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⋅ 7 4 2 3 1 1 5 6 X b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 1 6 5 4 X 2 3 1 2 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 5 3 2 4 1 X 2 3 1 2 c. 24 3 2 1 6 X − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⋅ f. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 1 3 1 2 1 X 19 1 37 2 12. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini. a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 7 25 1 y 2 x 2 5 4 3 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 10 20 2 y 4 x 2 2 1 3 4 13. Seorang pedagang menjual dua jenis komoditas campuran. Komoditas jenis pertama merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B, sedangkan komoditas jenis kedua merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan 50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama Rp100.000,00 dan jenis kedua Rp170.000,00. a. Bentuklah matriks dari pernyataan tersebut. b. Selesaikanlah perkalian matriks untuk mendapatkan harga masing-masing kualitas per kilogram. 14. Lima meja dan delapan kursi berharga 115, sedangkan tiga meja dan lima kursi berharga 70. Tentukan harga 6 meja dan 10 kursi. 108 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

A. Soal Pilihan Ganda

Pilihlah satu jawaban a, b, c, d atau e yang dianggap benar 1. Diketahui matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 2 4 1 3 1 2 A dan matriks ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 3 2 1 3 1 B maka ⋅ A B = . . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 15 3 2 6 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 7 2 3 6 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 6 3 2 15 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 7 3 2 6 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 6 3 2 15 2. Diketahui matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 1 2 4 3 A , ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = 5 1 2 3 B dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 1 2 4 5 C maka 2A – B + 2C = . . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 1 6 9 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 1 6 24 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 5 1 2 19 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 1 6 24 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 6 6 15 3. Diketahui matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = 1 1 3 2 A dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 5 10 5 B dan X A ⋅ = B. Matriks X adalah . . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 1 4 2 6 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 8 1 2 1 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 3 4 2 6 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 4 3 2 1 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 5 20 10 6 4. Jika ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 2 2 5 3 A dan A B ⋅ = I , dengan I matriks satuan , maka B = . . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 3 5 2 2 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 3 2 5 2 e. ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 4 5 1 2 1 b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 4 3 2 1 4 5 2 1 d. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 4 3 4 5 4 5 2 1 5. Jika diketahui matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 2 4 3 1 2 A dan ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 1 2 3 1 1 B maka matriks A B ⋅ adalah . . . . 109 BAB I I I Matriks a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 6 2 2 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 2 6 4 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − 4 4 3 3 2 b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2 1 2 3 1 1 d. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 3 4 3 4 2 6. Nilai I 1 dan I 2 pada persamaan matriks ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 4 13 I I 3 1 1 2 2 1 berturut-turut adalah. . . . a. 3 dan 5 c. 5 dan 3 e. 9 dan 4 b. 23 dan –2 d. 7 dan -1 7. Diketahui ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 4 5 3 4 2 1 3 A maka det A = . . . . a. -2 c. e. 2 b. -1 d. 1 8. Nilai a, b, c, dan d berturut-turut yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 1 6 3 1 3 1 2 d c b a adalah . . . . a. -1, 1, 2 dan 3 c. -1, -1, 2 dan 3 e. -15, -9, 5 dan 3 b. -1, 1, 3 dan 2 d. 1, 3, 9 dan 15 9. Matriks X yang memenuhi persamaan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 5 9 5 3 X 1 3 2 1 adalah. . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 1 3 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 3 1 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 1 2 3 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 2 1 3 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − 2 1 3 10. Diketahui ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 2 2 1 1 A dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 2 4 1 1 B , maka A + B 2 = . . . . a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 3 2 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 2 e. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 12 4 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 12 4 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 8 12 3 4 11. Diketahui 4 1 2 3 1 x = − − , nilai x yang memenuhi persamaan adalah . . . . a. -9 c. 0 e. 9 b. -4 d. 5