70
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
b. x
1
= 1 – 2 dan x
2
= 1 + 2 gunakan rumus jumlah dan hasil kali x
1
+ x
2
= 1 – 2 + 1 + 2 = 2
2 1
x x
⋅
= 1 – 2 1 + 2 = -1
x
2
– x
1
+ x
2
x +
2 1
x x
⋅
= 0 x
2
– 2x + -1 = 0, sehingga x
2
– 2 x –1 = 0 c. x
1
= 3
2 dan x
2
= -2 x
1
+ x
2
= 3
2 + -2 =
3 6
2
−
= - 3
4
2 1
x x
⋅
= 2
3 2
−
⋅
= - 3
4 x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0 x
2
– 3
4
−
x + 3
4
−
= 0, sehingga 3x
2
+ 4 x – 4 = 0 d. x
1
= - 5
1 dan x
2
= 2
3 x
1
+ x
2
= - 5
1 +
2 3
= 10
15 2
+ −
= 10
13
2 1
x x
⋅
= - 5
1 .
2 3
= 10
3
−
x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0 x
2
– 10
13 x +
10 3
−
= 0, sehingga 10x
2
– 13 x – 3 = 0
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar- akar Persamaan Kuadrat Lain
Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-cotoh soal di bawah ini.
Contoh 27
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x
2
– 2x – 10 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan x
2
– 2x – 10 = 0 adalah x
1
dan x
2
, Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -2 dan c = -10, sehingga
2 1
2 a
b x
x
2 1
= −
= −
= +
− dan
10 1
10 a
c x
x
2 1
− =
− =
= ⋅
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah
α
dan
β
yang akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau
α
= 2x
1
dan
β
= 2x
2
.
α
+
β
= 2x
1
+ 2x
2
dan
β ⋅
α
= 2
2 1
x 2
x
⋅
= 4
2 1
x x
⋅
= 2x
1
+ x
2
= 2
2
⋅
= 4 = 4-10 = -40
71
BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar
α
dan
β
adalah x
2
–
α
+
β
x +
β ⋅
α
= 0 x
2
– 4x + -40 = 0 x
2
– 4x – 40 = 0
Contoh 28
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
1
x + 2 dan
2
x + 2 dari persamaan kuadrat x
2
= 3x – 6 yang mempunyai akar-akar x
1
dan x
2
.
Jawab:
x
2
= 3x – 6 x
2
– 3x + 6 = 0 diperoleh a = 1, b= -3 dan c = 6 x
1
+ x
2
= - a
b = 3
2 1
x x
⋅
= a
c = 6
misal akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah
α
dan
β
,
α
=
1
x + 2 dan
β
=
2
x + 2, maka
α
+
β
=
1
x + 2 +
2
x + 2
β ⋅
α
=
1
x + 2 .
2
x + 2 =
1
x +
2
x + 4 =
2 1
x x
⋅
+ 2
1
x + 2
2
x + 4 = 3
+ 4 =
2 1
x x
⋅
+ 2
1
x +
2
x + 4 = 7 = 6
+ 3
2
⋅
+ 4 = 16
x
2
–
α
+
β
x +
β ⋅
α
= 0 x
2
– 7x + 16 = 0
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh 29
Sebuah pabrik mainan menjual produknya seharga Rp6.000,00 per unit. Biaya pembuatan x unit produk didapat menurut persamaan B = x
2
+ 1.000 x. Berapa unit produk harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp6.000.000,00?
Jawab:
Laba = Pendapatan – Biaya pembuatan = Harga jual x jumlah yang diproduksi – Biaya pembuatan
Gambar 2.3 Hasil produksi pabrik pembuatan mainan A
rt a
n d
g a
le ry
72
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
6.000.000 = 6.000 x – x
2
+ 1.000 x 0 = x
2
– 5.000 x + 6.000.000 0 = x – 3.000x – 2.000
x – 3.000 = 0 atau x – 2.000 = 0 x
1
= 3.000 atau x
2
= 2.000 Jadi, untuk mendapatkan laba Rp6.000.000,00 harus diproduksi dan terjual sebanyak
3.000 unit atau 2.000 unit.
Contoh 30
Pak Somad memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan ukuran 2x + 5 meter dan Pak Karta juga memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran
panjang 10x– 5 meter dan lebar 2x meter. Luas tanah Pak Karta dua kalinya luas tanah pak Somad. Tentukan luas tanah Pak Somad dan Pak Karta.
Jawab:
Luas tanah Pak Somad = sisi x sisi = 2x + 52x + 5 = 4x
2
+ 20x + 25 Luas tanah Pak Karta = Panjang x lebar
= 10x – 5
⋅
2x = 20x
2
– 10x Luas tanah Pak Karta = dua kalinya luas tanah Pak Somad
20x
2
– 10x = 2 4x
2
+ 20x + 25 20x
2
– 10x = 8x
2
+ 40x + 50 12x
2
– 50x – 50 = 0 6x
2
– 25x – 25 = 0 6x + 5x – 5 = 0
6x + 5 = 0 atau x – 5 = 0 x
1
= -1,2 tidak memenuhi atau x
2
= 5 Jadi, luas tanah Pak Somad =
5 2
⋅
+ 5 5
2
⋅
+ 5 = 225 m
2
luas tanah Pak Karta = 5
10
⋅
– 5
⋅
5 2
⋅
= 450 m
2
F. Rangkuman Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
1. Jika x
1
dan x
2
akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut.
Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x – x
1
x – x
2
= 0 x
2
– x
1
+ x
2
x +
2 1
x x
⋅
= 0 2. Langkah-langkah menyusun persamaan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat
lain sebagai berikut: a.
Misalkan akar-akar persamaan yang diketahui adalah x
1
dan x
2
. b.
Tentukan nilai x
1
+ x
2
dan
2 1
x x
⋅
c. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah
α
dan
β
d. Tentukan nilai
α
+
β
dan
β ⋅
α
e. Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah : x
2
–
α
+
β
x +
β ⋅
α
= 0
