Minor , Kofaktor, dan Adjoin

98 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi M 12 = 3 4 1 1 − = 1 3 ⋅ – ⋅ 4 -1 = 7 M 31 = 1 4 5 − = ⋅ 0 -1 – 4 5 ⋅ = -20 M 13 = 2 4 4 1 − = ⋅ 1 -2 – ⋅ 4 4 = -18 M 32 = 1 1 5 2 − − = - ⋅ 2 -1 – 1 5 ⋅ = -3 M 21 = 3 2 5 − = ⋅ 0 3 – -2 5 ⋅ = 10 M 33 = 4 1 2 − = -2 4 ⋅ – 1 0 ⋅ = -8 M 22 = 3 4 5 2 − = -2 3 ⋅ – 4 5 ⋅ = -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah C 11 = -1 1+1 M 11 = 1 10 ⋅ = 10 C 23 = -1 2+3 M 23 = -1 ⋅ 4 = -4 C 12 = -1 1+2 M 12 = -1 7 ⋅ = -7 C 31 = -1 3+1 M 31 = 1 ⋅ -20 = -20 C 13 = -1 1+3 M 13 = 1 ⋅ -18 = -18 C 32 = -1 3+2 M 32 = -1 ⋅ -3 = 3 C 21 = -1 2+1 M 21 = -1 10 ⋅ = -10 C 33 = -1 3+3 M 33 = 1 ⋅ -8 = -8 C 22 = -1 2+2 M 22 = 1 ⋅ -26 = -26 Matriks kofaktornya adalah ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 8 3 2 4 26 10 18 7 10 C C C C C C C C C 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = 8 4 8 1 3 26 7 2 1 10 8 3 2 4 26 1 18 7 10 A Adj T

4. I nvers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A -1 atau A = B -1 . Contoh 30 Dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 5 3 7 4 P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 4 3 7 5 Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers. Jawab: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 15 15 28 28 21 20 4 3 7 5 5 3 7 4 Q P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 12 12 35 35 21 20 5 3 7 4 4 3 7 5 P Q Karena PQ = QP = I , maka P = Q –1 dan Q = P –1 . Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah: A adj A det 1 A 1 = − 99 BAB I I I Matriks Contoh 31 Tentukan invers dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = d c b a A Jawab: Determinan A detA adalah det A = bc ad d c b a − = Minor dari A adalah M 11 = | d | = d M 21 = | b | = b M 12 = | c | = c M 22 = | a | = a Kofaktor dari A adalah C 11 = -1 1+ 1 M 11 = d C 21 = -1 2+ 1 M 21 = -b C 12 = -1 1+ 2 M 12 = -c C 22 = -1 2+ 2 M 22 = a Matriks kofaktor ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − a b c d sedangkan matriks adjoin adj A = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − − a c b d a b c d T I nvers matriks A adalah ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = = − a c b d bc ad 1 A adj A det 1 A 1 Contoh 32 Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari: a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 4 2 7 4 A b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 2 4 1 4 1 5 2 A Jawab: a. DetA = -4 4 ⋅ – -2 7 ⋅ = -16 + 14 = -2 sehingga: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = = − 2 1 2 1 3 2 4 2 7 4 2 1 A Adjoin . A det 1 1 A b. DetA = -2 3 4 ⋅ ⋅ + 4 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ 1 5 -2 – 5 4 4 ⋅ ⋅ + -2 ⋅ -1 ⋅ -2 + 1 3 ⋅ ⋅ = -24 – 0 – 10 – 80 – 4 + 0 = -34 – 76 = -110 A Adjoin A det 1 1 A ⋅ = − dari Contoh 29 diperoleh Adj A 110 1 1 A − = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − 8 4 8 1 3 26 7 2 1 10