336
n demikian, fase tegangan antara ujung induktor adalah 1000t + a, fungsi tegangan antara ujung induktor adalah
adalah 1000t + 5 π6. Denga
5 π6 + π2 = 1000t + 8π6. Akhirny
6 8
1000 cos
1 6
8 1000
cos π
π +
= +
= t
t V
V
Lm L
volt d tegangan total antara ujung kiri komponen paling kiri dan ujung kanan komponen paling
otal rangkaian kanan
Impedansi t
180 32500
200 50
100
2 2
2 2
= =
− +
= Ω.
mum antara ujung kiri dan ujung kanan rangkaian −
+ =
C L
X X
R Z
Tegangan maksi 180
02 ,
= ×
= =
Z I
V
m m
6 ,
3 volt gan tegangan maksimum ini memenuhi
Beda fase antara arus den
5 ,
1 100
150 100
200 50
tan −
= −
= −
= − X
X
L
= R
C
θ
θ = -0,98 rad = - 0,31π rad. if lebih kuat dari sifat konduktif maka secera keseluruhan rangkaian bersifat
kapasitif. Fasa tegangan antara ujung ke ujung rangkaian mengalami keterlambatan dari fasa arus. Fasa arus adalah 1000t + 5
π6. Maka fasa tegangan adalah 1000t + 5π6 – 0,31π = 1000t + total menjadi
atau Karena sifat kapasit
+0,52 π. Jadi, fungsi tegangan
π π
52 ,
1000 cos
6 ,
3 52
, 1000
cos +
= +
= t
V V
m
t volt
8.13 Faktor Daya
elanjutnya kita akan menghitung disipasi daya pada rangkaian RLC yang disusun secara seri. S
Jika rangkaian tersebut dialiri arus
t I
I
m
ω cos
= maka dengan segera kita dapat menentukan tegangan antara ujung kiri komponen paling kiri
engan ujung kanan komponen paling kanan adalah d
θ ω +
= t
Z I
V
m
cos dengan
− =
R X
X
C L
tan θ
Disipasi daya dalam rangkaian
θ ω
ω +
= =
t t
Z I
IV P
m
cos cos
2
337
ita gunakan persamaan trigonometri K
β α
β α
β α
− +
+ =
cos 1
cos 1
cos 2
2 ehingga kita dapat menulis
cos
s
[ ]
[ ]
θ ω
ω θ
ω ω
θ ω
ω +
− +
+ +
= +
t t
t t
t t
cos 2
1 cos
2 1
cos cos
θ θ
ω θ
θ ω
2 1
2 cos
2 1
cos 2
1 2
cos 2
1 +
+ =
− +
+ t
t cos
= Dengan demikian
θ θ
ω cos
2 2
cos 2
t P
+ +
=
2 2
Z I
Z I
m m
Daya rata-rata adalah
θ θ
ω θ
θ ω
cos 2
2 cos
2 c
Z I
m
os 2
cos
2 2
2 2
Z I
t Z
I t
Z I
P
m m
m
+ +
= +
+ =
Kalian dapat mebuktikan bahwa
2 2
2 cos
= +
θ ω
t
. Dan karena θ
cos
konstan maka θ
θ
cos =
. Akhirnya diperoleh
cos
θ cos
2 2
2 2
× +
× =
Z I
Z I
P
m m
θ cos
2
2
Z I
m
= 8.63
Di sini, cos θ disebut factor daya. Besaran ini me
an daya yang dibuang pada rangkaian eskipun besar tegangan dan arus maksimum konstan. Faktor daya bergantung pada frekuensi
rus. Jadi, untuk rangkaian yang sama, disipasi daya yang dibuang bergantung pada frekuensi. nentuk
m a
338
θ adalah satu. Kondisi ini menyebabkan disipasi daya mencapai nilai
Daya rata-rata dapat pula ditulis dalam bentuk lain. Mengingat Nilai terbesar cos
maksimum. Kondisi ini dicapai saat resonansi di mana XL = XL sehingga tan θ = 0 atau cos θ =
1.
m m
V Z
I =
maka
θ θ
cos cos
m m
m m
V I
V I
P =
= 2
2 2
θ cos
rms rms
V I
= 8.64
Soal dan Penyelesaian
hambatan R = 1,0 Ω dan induktansi L = 0,3 H. Tentukan arus
alam kumparan jika dihubungkan dengan tegangan a 120 volt dc, b 120 votl rms dengan frekuensi 60 Hz
Jawab
= 1,0 Ω
L = 0,3 H f = 60 Hz
atau ω = 2πf = 2π × 60 = 120π rads
Jika dihubungkan dengan tegangan dc maka hanya hambatan yang memberi pengaruh pada Dengan demikian arus yang mengalir adalah
I = VdcR = 1201,0 = 120 A b Jika dihubungkan dengan tegangan ac maka hambatan dan inductor memberi pengaruh pada
tegangan yang diberikan. eaktansi induktif adalah
1 Sebuah kumparan memiliki d
Diberikan R
a tegangan yang diberikan.
R
= ×
= =
3 ,
120
π ω
L X
L
113 Ω.
Impedansi rangkaian
≅ +
= +
=
2 2
2 2
113 1
L
X R
Z 113
Ω
Tegangan rms yang diberikan adalah 120 V. Maka arus rms adalah
94 ,
120 113 =
= =
Z V
I
rms rms
A
339
Arus maksimum adalah
33 ,
1 41
, 1
94 ,
2 =
× =
=
rms m
I I
A 2 Tiga komponen R, L, dan C dihubungka
C = 12,0 µF
00 Hz. Hitung a arus dalam rangkaian, b pembacaan voltmeter pada dua ujung
= 25,0 Ω
s = 90 V = 500 Hz
eaktansi induktif n secara seri. Misalkan R = 25,0
Ω, L = 30,0 mH, dan . Rangkaian tersebut dihubungkan dengan tegangan ac 90 V rms dengan frekuensi
5 masing-masing komponen, c beda fase
θ, dan d disipasi daya dalam rangkaian. Jawab
Diberikan R
L = 30,0 mH = 0,03 H C = 12,0
µF = 1,2 × 10
-5
F Vrm
f ω = 2πf = 2π × 500 = 3 140 rads
R
03 ,
3140 ×
= = L
X
L
ω = 94,2
Ω Reaktansi kapa
sitif 10
2 ,
1 3140
1 1
5 −
× ×
= =
C X
C
ω = 26,5
Ω Impedansi total
2 2
2 2
5 ,
26 2
, 94
25 −
+ =
− +
=
C L
X X
R Z
= 72 Ω
a Arus rms yang mengalir dalam rangkaian
72 90
= =
Z I
rms
V
rms
= 1,25 A
volmeter adalah tegangan rms. Beda tegangan antar ujung-ujung komponen yang meter
V
rms rms
R
Pembacaan dibaca volt
adalah Antara ujung resistor
, 25
25 ,
1 ×
= =
R I
= 31,25 V
,
Antara ujung kapasitor 5
, 26
25 ,
1
,
× =
= X
I = 33,13 V
C rms
rms C
V
340
An
,
tara ujung induktor 2
, 94
25 ,
1 ×
= =
X I
V
L rms
rms L
= 117,75 V c Beda fase antara arus dan tegangan adalah
θ yang memenuhi
71 ,
2 25
5 ,
26 2
, 94
tan =
− =
X X
C L
θ
= −
R
atau = 69,8
o
arena XL XC maka rangkaian bersifat induktif sehingga tegangan mendahului arus dengan selisih fase
θ = 69,8
o
Disipasi daya dalam rangkaian θ
K
d
o rms
rms
V I
P 25
, 1
cos =
=
θ
8 ,
69 cos
90 ×
×
= 55 watt Pada frekuensi berapakah inductor 200 mH memiliki reaktansi 2,0 k
Ω? awab
J Diberikan
XL = 2,0 k Ω = 2 × 10
3
Ω L = 200 mH = 0,2 H
L X
L
ω
=
atau
4 3
10 2
, 10
2 =
× =
= X
L
ω
L
rads
µF adalah 250 Ω. Pada frekuensi berapakah lakukan?
C = 9,20 µF = 9,2 × 10
3 Ketika diukur, reaktansi sebuah kapasitor 9,20 pengukuran di
Jawab Diberikan
XC = 250
Ω
-6
F C
X
C
ω atau
1 =
4375 250
10 2
, 9
C
CX 1
1
6
= ×
× =
=
−
ω rads
341
4 Hitung impedansi dan arus rms dalam kumparan radio 160 mH yang dihubungkan ke tagangan 220 V rms pada frekuensi 10,0 kHz. Abaikan hambatan kumparan
Diberikan L = 160 mH = 0,16 H
rms = 220 V
ctor maka impedansi sama dengan reaktansi induktif, yaitu Ω
Arus rms yang mengalir Jawab
V f = 10,0 kHz = 10
4
Hz ω = 2πf = 2π× 10
4
rads Karena hanya ada indu
4 4
10 ,
1 16
, 10
2 ×
= ×
× =
= =
π ωL
X Z
L
022 ,
10 ,
1 220
= =
= V
I
rms 4
× Z
rms
A
gan tegangan rms 2,0 kV dan ekuensi 700 Hz? Berapa pula nilai arus maksimum yang mengalir?
Jawab Diberikan
,030 µF = 3 × 10
-8
F z
= 2 πf = 2π × 700 = 4396 rads
Karena hanya ada kapasitor maka impedansi sama dengan reaktansi kapasitif, yaitu 5 Berapa impedansi kapasitor 0,030
µF jika dihubungkan den fr
C = 0 f = 700 H
ω Vrms = 2,0 kV = 2
× 10
4
V a
10 3
4396 1
1 = =
= X Z
8 −
× ×
C
C
ω = 7 583
Ω b Arus rms yang mengalir
583 7
Z
rms
10 2
4
× =
= V
rms
= 2,6 A aksimum yang mengalir adalah
I Arus m
41 ,
1 6
, 2
2 ×
= =
rms m
I I
= 3,7 A
6 Sebuah hambatan 30 k Ω dipasang seri dengan inductor 0,5 H dan sebuah sumber tagangan ac.
g impedansi rangkaian jika frekuensi sumber adalah a 50 Hz, b 3,0 × 10
4
Hz. Jawab
Hitun
342
Diberikan R = 30 k
Ω = 3 × 10
4
Ω = 0,5 H
L a f = 50 Hz, maka
ω = 2πf = 2π × 50 = 314 rads
5 ,
314 ×
= = L
X
L
ω = 157
Ω nsi rangkaian
Impeda
2 2
4 2
2
157 10
3 +
× =
L
=3 × 10
4
Ω
b f = 3,0 ×
4
, maka ω = 2πf = 2π × 3,0 × 10
4
= 1,9 × 10
5
rads Ω
pedansi rangkaian +
= X
R Z
10 Hz
4 5
10 5
, 9
5 ,
10 9
, 1
× =
× ×
= = L
X
L
ω Im
5 2
4
1 =
2 4
2 2
10 ,
1 5
, 9
10 3
× ×
+ ×
= +
=
L
X R
Z Ω
,42 H πf1 = 2π × 60 = 377 rads
7 Sebuah hambtan 2,5 k Ω dipasang seri dengan inductor 420 mH. Pada frekuensi berapakah
impedansi sama dengan dua kali impedansi pada saat frekuensi 60 Hz? Jawab
Diberikan R = 2,5 k
Ω = 2 500 Ω L = 420 mH = 0
f1 = 60 Hz, atau ω1 = 2
42 ,
377
1 1
× =
= L
X
L
ω = 158,34
Ω
pedansi memenuhi adi
ω2 = ….?
Im
2 2
2 L
X R
Z +
= J
2 1
2 1
2 2
2 1
2 L
L
X R
X R
Z Z
+ +
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
Untuk Z2Z1 = 2 maka
2 1
2
R +
1 2
2 L
L
X X
+ atau
2 1
2 1
2 2
4
L L
X R
X R
+ +
=
2
2 R
= atau
2 1
2 2
2 2
L
X R
= +
4
L
X R
+ Atau
⎟⎟ ⎜⎜ +
= +
= −
+ =
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
3 4
1 3
4 3
4 R
X R
X R
R X
R X
L L
L L
⎠ ⎞
⎝ ⎛
2
Atau
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ 3
2 3R
⎛ ≈
1
1 3R
× +
+ =
2 2
1 2
2 1
2 2
2
3 2
1 3
4 1
4 1
3 R
X R
R X
X R
X
L L
L L
7 ,
4341 10
5 ,
2 3
34 ,
158 2
× 1
10 5
, 2
3
2 3
2 3
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ×
× +
× ×
× =
Ω Dengan demikian diperoleh frekuensi sudut agar impedansi dua kali adalah
42 ,
7 ,
4341
2 2
L =
L
= 10 337 Hz
mpedansi total, sudut fase, dan arus rms dalam rangkaian RLC seri yang dihubungkan si 10,0 kHz jika L = 22,0 mH, R = 8,70 k
Ω, dan C = 5 000 pF?
Diberikan R = 8,70 k
Ω = 8,7 × 10
3
Ω = 22,0 mH = 0,022 H
Vrms = 300 V ω = 2πf = 2π × 10
4
= 6,28 × 10
4
rads Reaktansi induktif rangkaian
Ω =
X ω
8 Berapa i dengan sumber tagangan 300 V rms dan frekuen
Jawab
L C = 5 000 pF = 5
× 10
-9
F f = 10,0 kHz = 10
4
Hz
3 4
10 4
, 1
022 ,
10 28
, 6
× =
× ×
= = L
X
L
ω Reaktansi kapasitif rangkaian
4
10 2
, 3
1 1
× =
= =
X Ω
C 9
4
10 5
10 28
, 6
× ×
×
−
C ω
rangkaian Impedansi
2 2
− =
C L
X X
R Z
+
3 7
2 3
3 2
3
89 ,
7 4
, 1
10 7
, 8
× =
× +
× =
10 2
, 3
10 ×
− 10
9 ,
8 10
× =
Ω
343
344
udut fase antara arus dan tegangan, θ, memenuhi
S
21 ,
10 7
, 8
10 2
, 3
10 4
, 1
tan
3 3
3
− =
× ×
− ×
= −
= R
X X
C L
θ atau
2
o
Karena sifat kapasitif lebih kuat daripada sifat induktif maka tegangan mengikuti arus. Arus rms yang mengalir
θ = -1
3
10 9
, ×
8 300
= =
Z V
rms rms
= 0,034 A
gangan V = 4,8 sin 754t diterapkan pada rangkaian RLC seri. Jika L = 3,0 mH, R=1,4 k Ω,
dan C = 3,0 µF, berapa disipasi daya dalam rangkaian?
iberikan L = 3,0 mH = 3,0
× 10
-3
H R = 1,4 k
Ω = 1,4 × 10
3
Ω C = 3,0
µF = 3,0 × 10
-6
F aan umum tegangan dapat ditulis
= Vm sin ωt
Dari bentuk tegangan yang diberikan kita dapat simpulkan Vm = 4,8 volt
ω = 754 rads Reaktansi kapasitif
I
9 Te Jawab
D
Persam V
10 ,
3 754
1 1
6 −
× ×
= =
C X
C
ω = 442
Ω
× =
= L X
L
ω pedansi rangkaian
Reaktansi induktif 10
× =2,3
Ω ,
3 754
3 −
Im
2 2
C L
X X
R Z
− +
=
1467 442
3 ,
2 10
4 ,
1
2 2
3
+ ×
= −
Ω
gangan, θ, memenuhi
= Sudut fase antara arus dan te
314 ,
10 4
, 1
4 3
, 2
tan −
= −
= X
X
C L
θθ 42
3
− =
×
Arus maksimum yang mengalir dalam rangkaian Arus maksimum yang mengalir dalam rangkaian
R atau
atau θ = -17,4
o
θ = -17,4
o
3
10 3
, 3
1467 8
, 4
−
× =
= =
Z V
I
m m
A dalam rangkaian
Disipasi daya rata-rata 4
, 17
cos 2
8 ,
4 10
3 ,
3 cos
2
3
o m
m
V I
P −
× ×
× =
=
−
θ = 0,015 W
10 Suatu rangkaian mengandung resistor 250 Ω yang diseri dengan inductor 40,0 mH dan
enerator 50,0 V rms. Disipasi daya adalah 9,50 W. Berapa frekuensi generator? Diberikan
Vrms = 50,0 V 50
Ω mH = 4
× 10
-2
H g
Jawab
R = 2 L = 40,0
P = 9,5 W
θ θ
θ cos
Z V
I P
rms rms
= =
cos cos
2
Z V
V V
rms rms
rms
= ihat Gbr. 8.28
L
θ I
m
R I
m
X
L
I
m
Z θ
I
m
R I
m
X
L
I
m
Z
Gambar 8.28 bar bahwa
Tampak dari gam
345
Z R
R I
m
= =
θ
cos Z
I
m
Jadi
2 2
2
Z R
V Z
R Z
V P
rms rms
= =
Dengan demikian,
65780 5
, 9
250 50
2 2
2
= ×
= =
P R
V Z
rms
Ω
2
Tetapi = 3280
Ω
2
atau
2 2
2 2
250 65780
− =
− =
R Z
X
L
3280 =
L
X = 57
Ω Frekuensi generator adalah
2
10 4
57
−
× =
= L
X
L
ω = 1425 rads
Soal Latihan 1 Kapasitor 3500 pF dihubungkan dengan inductor 50
emiliki hambatan 3,0 Ω.
erapa frekuensi resonansi rangkaian? une ke satsiun
Hz? b berapa induktansi rangkaian? an RLC memiliki L = 4,8 mH dan R = 4,4
Ω. a Berapa C agar terjadi resonansi pada Hz. b berapa arus maksimum pada saat resonansi jika tegangan puncak
alah 50 volt? alir pada rangkaian RL seri jika Vrms = 120 volt dan frekuensi 60
batan adalah 1,8 k Ω dan induktansi adalah 900 mH. b Berapa sudut fasa antara
arus dan tegangan? c berapa daya yang dibuang rangkaian? d berapa tegangan rms antara dua ujung hambatan dan antara dua ujung inductor?
paran inductor bekerja pada tegangan 220 V rms dan frekuensi 60 Hz. Kumparan tersebut menarik arus 12,8 A. berapa induktansinya?
µH yang m B
2 Kapasitor variable dalam tuner radio AM memiliki kapasitansi 2 800 pF jika radio tersebut di-tune ke stasiun 580 kHz. a berapa kapasitansi kapasitor jika radio tersebut dit
1 600 k 3 Rangkai
frekuensi 3 600 eksternal ad
4 Berapa arus yang meng Hz? Besar ham
5 Sebuah kum
346
347
Sebuah hambtan 2,5 k Ω dihubungkan secara seri dengan kapasitor 4,0 µF dan sumber
tagangan ac. Hitung impedansi rangkian jika frekuensi sumber adalah a 100 Hz, dan b 10 000 Hz
7 Tulislah arus sebagai fungsi waktu yang dihasilkan oleh generator yang memberikan arus rms 10 A dan frekuensi 50 Hz
8 Arus rms yang melewati sebuah hambatan R adalah 2,0 A. Berapa tegangan maksimum antara dua ujung hambatan jika R = 1 000 Ohm?
9 Tentukan arus maksimum yang ditarik oleh bohlam lampu yang tertulis 100 W dan 220 V 10 Sebuah tegangan yang dihasilkan oleh generator dapat ditulis dalam bentuk
6
140 cos
200 t
t V
π =
volt. Berapa tegangan rms dan frekuensi tegangan tersebut? buah generator. Semuab amperemeter yang
an resistor tersebut memberikan bacaan 1,5 A dan voltmeter yang emberikan bacaan 75,0 V. Berapa daya
batan 1,0 Ω dihubungkan ke generator tegangan ac. Osiloskop mencatat arus ac
yang mengalir pada resistor dan memperlihatkan arus maksimum 0,5 A. Berapa daya rata-rata µF dihubungkan ke sumber tegangan ac yang memiliki frekurisn 60 Hz.
14 Jika sebuah kapa tor dihubungkan secara seri dengan sumber tegangan ac yang memiliki h reaktansi kapasitif 200
Ω. Berapa reaktansi jika kapasitor tersebut ber yang memiliki frekeuensi 10 kHz?
entukan arus yang ditarik oleh kapasitor 45 µF jika dihubungkan dengan sumber tegangan
220 V, 50 Hz. 16 Sebuah sumber tegangan ac dengan frekuensi 60 Hz memiliki tegangan output 120 V. Berapa
n ke sumber tegangan tersebut agar dihasilkan arus 1,00 paran 0,15 H yang tidak
batan menghasilkan rekatansi 10 Ω ketika
ber tegangan ac. Tentukan frekuensi sumber entukan reaktansi induktif sebuah kumparan 10,0 mH yang dihubungkan dengan sumber
emiliki frekuensi 100 Hz 19 Induktor
dihubungkan ke sebuah sumber tegangan ac yang memiliki frekuensi 60 s 125 V. Tentukan reaktansi induktor tersebut.
bacaan masing-masing alat ukur? 11 Sebuan resistor dihubungkan seri dengan se
dihubungklan seri deng mengukur beda tegangan antara dua ujung resistor m
rata-rata yang diberikan generator pada resistor tersebut? 12 Sebuah ham
yang dibuang oleh resistor? 13 Sebuah kapasitor 80
Berapa reaktansi kapasitof?
si frekuensi 50,0 H diperole
dihubungkan ke sum 15 T
kapasitansi kapasitor yang dihubungka A?
17 Kum memiliki ham
dihubungkan dengan sebuah sum 18 T
tegangan yang m
250 mH Hz dan tegangan output rm
20 Pada gambar 8.29, berapa pem
Gambar 8.29 21 Pada gambar 8.30, berapa pembacaan masing-masing alat ukur?
Gambar 8.30 22 Sebuah hair dryer 1200 W bekerja pada tegangan 120 V. Berapa hambatannya dan berapa
arus yang ditarik?
348
mberikan pembacaan 500 mA. Dianggap tidak ang dihasilkan jika tidak digunakan transfomator, tetapi rangkaian
23 Gambar 8.31 memperlihatkan rangkaian eksperimen untuk mempelajari sifat hambatan R dalam rangkaian ac. Transformator yang memiliki input 220 V memberikan tegangan keluaran
30 V pada frekuensi 60 Hz dan amperemeter me ada kehilangan daya pada kabel-kabel yang digunakan. Berapa daya rata-rata yang terbuang pada
hambatan? Berapa daya y langsung disambungkan ke tegangan PLN?
Gambar 8 31
349
tu setelah saklar 1 ian jika dua saklar dibuka, f energi maksimum yang
i frekuensi sehingga 24 Pada gambar 8.32 semua parameter diberikan kecuali C. Carilah a arus sebagai fungsi
waktu, b daya yang dibuang dalam rangkaian, c arus sebagai fungsi wak saja yang dibuka, d kapasitansi C jika arus dan tegangan memiliki fase yang sama setelah
saklar 2 juga dibuka, e impedansi rangka disimpan dakam kapasitor, g energi maksimum yang disimpan dalam induktor, h perubahan
beda fase antara arus dan tegangan jika frekuensi dijadikan dua kali, reaktansi induktif sama dengan setengah reaktansi kapasitif.
Gambar 8.32
Bab 9 Besaran Gelombang
