311
kita mendapatkan hubungan tak berhingga maka hambatan kapasitor menuju nol, yang berarti kapasitor seolah-olah
terhubung singkat. Sebaliknya jika frekuensi arus yang mengalir pada kapasitor menuju nol maka hambatan kapasitor menuju tak berhingga. Dalam kondisi ini kapasitor berperilaku sebagai
sebuah saklar yang terbuka. Ini penyebab mengapa kapasitor tidak dapat dilewati arus DC. Arus DC memiliki frekuensi nol.
Dengan aturan trigonometri
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= +
cos sin
π ϑ
ω ϑ
ω t
t ⎠
⎝ 2
o o
8.24 Dengan demikian, tegangan antara dua ujung kapasitor dapat ditulis sebagai
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= cos
π ϑ
ωt X
I V
⎠ ⎝
2
o C
m C
8.25 Kurva arus yang mengalir pada kapasitor dan tegangan antara dua ujung kapasitor tampak pada
ambar 8.9. Tampak pada Gambar 8.9 bahwa kurva tegangan dapat diperoleh dari kurva arus G
dengan menggeser fasa sebesar π2 atau 90o. Dengan kata lain tegangan antara dua ujung
kapasitor muncul lebih lambat daripada arus. Atau tegangan pada kapasitor mengikuti arus dengan keterlambatan fasa
π2.
8.8 Tegangan antara dua ujung inductor
isalkan inductor dengan indultansi L juga dialiri arus yang memenuhi persamaan 8.17. tersebut?
Gambar 8.10 ari kita hitung. Tegangan antara dua ujung inductor dapat ditentukan dari persamaan
M Berapa tegangan antara dua ujung induksor
L I = I
m
cos ωt+ϕ
o
V
L
L I = I
m
cos ωt+ϕ
o
V
L
Arus bolak-balik melewati sebuah induktor M
dt
L
dI L
= 8.26
V
312
Dengan m enggunakan I pada persamaan 8.17 maka diperoleh
[ ]
o m
o m
L
t LI
t I
dt L
V sin
cos d
ϑ ω
ω ϑ
ω +
− =
+ =
Jika kita mendefinisikan
L X
L
ω
=
8.27 ita dapat menulis
k
o L
m L
t X
I V
ϑ ω +
− =
sin 8.28
ampak dari persamaan 8.28 bahwa ketika dialiri arus bolak-balik, inductor berperan sebagai hambatan dengan nilai h
ambatan ini makin besar jika frekuensi arus makin besar. Jika frekuensi arus menuju tak T
ambatan X
L
. Besaran X
L
sering juga disebut reaktansi induktif. Nilai
h berhingga maka hambatan inductor menuju tak berhingga. Dalam kondisi ini, inductor berperan
sebagai sebuah saklar terbuka. Sebaliknya, jika frekuensi arus menuju nol maka hambatan inductor juga menuju nol, atau inductor seperti terhubung singkat.
II
ωt I
m
-I
m
ωt V
L
I
m
X
L
-I
m
X
L
π2 ωt
I
m
-I
m
ωt V
L
I
m
X
L
-I
m
X
L
π2
313
Gambar 8.11 Kurva arus dan tegangan ketika arus bolak-balik melewati sebuah induktor Dengan aturan trigonometri kita dapat menulis
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
= +
− 2
cos sin
π ϑ
ω ϑ
ω
o o
t t
8.29 Dengan demikian, tegangan antara dua ujung inductor dapat juga ditulis sebagai
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
= 2
cos π
ϑ ω
o L
m L
t X
I V
8.30 Gbr 8.11 adalah kurva arus dan tegangan antara dua ujung inductor. Tampak bahwa kurva VL
dapat diperoleh dari kurva arus dengan menggeser fasa ke kiri sebesar π2 atau 90o. Ini
menandakan bahwa tegangan antara dua ujung inductor mendahului arus dengan fasa sebesar π2
atau 90o.
dan inductor
emahami bahwa jika sebuah hambatan dilewati arus maka timbul disipasi daya.
emenuhi 8.31
aan 8.25 ke persamaan 8.31 maka
8.9 Disipasi daya pada kapasitor Kita sudah m
Ketika dilewati arus bolak-bali, kapasitor dan inductor berperan sebagai hambatan. Berapakah
ponen tersebut? Mari kita analisis satu per satu. disipasi daya pada dua kom
a Disipasi daya pada kapasitor Disipasi daya pada kapasitor m
I V
P
C C
= ensubtitusi arus para persamaan 8.17 dan tegangan VC pada persam
Dengan m dalam
[ ]
o m
o C
m C
t I
t X
I P
ϑ ω
π ϑ
ω +
× ⎥
⎦ ⎣
⎠ ⎝
2 ⎤
⎢ ⎡
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= cos
cos
o o
C m
t t
X I
ϑ ω
π ϑ
ω +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
= cos
2 cos
2
Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu
314
o o
C m
C
⎠ ⎝
2 t
t X
I P
ϑ ω
π ϑ
ω +
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= cos
cos
2
∫
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ ×
=
T o
o C
m
dt t
t T
X I
2
cos 2
cos 1
ϑ ω
π ϑ
ω
i atas, kita ganti ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+ 2
cos π
ϑ ω
o
t dengan
o
t ϑ
ω + sin
Untuk menyelesaikan integral d sehingga
∫
+ +
=
o o
C m
C
dt t
t T
X I
P cos
sin
ϑ ω
ϑ ω
8.32
T
2
Kita misalkan u
t
o
= +
ϑ ω
sin 8.33
iferensiasi ruas kiri dan kanan maka D
du dt
t
o
= +
ϑ ω
ω cos atau
ω ϑ
ω du
dt t
o
= +
cos
Dengan demikian
o o
o
t u
udu dt
t t
ϑ ω
ϑ ω
ϑ ω +
sin +
= =
= +
∫
2 2
sin 2
1 2
1 cos
Jadi persamaan 8.32 menjadi
∫
[ ]
o o
C m
T o
T T
X I
t
ϑ ϑ
ω ϑ
ω
+ −
+ =
⎥⎦ ⎤
⎣ +
sin sin
2 sin
2 1
2 2
2 2
2
engingat
C m
C
T X
I P
⎢ ⎡
=
T 2
π ω
=
maka π
ω
2 =
T
sehingga M
[ ]
o o
C m
C
T X
I P
ϑ ϑ
π
2 2
2
sin 2
sin 2
− +
=
Karena sifat periodisitas fungsi sinus maka
o o
ϑ ϑ
π sin
2 sin
= +
dan akhirnya diperoleh
[ ]
sin sin
2 =
C
T P
2 2
2
= −
o o
C m
X I
ϑ ϑ
Jadi, disipasi daya rata-rata pada kapasitor adalah nol. Kapa tor yang dilewati arus bolak-balik tidak mengalami pemanasan seperti yang dialami resisostor, walaupun pada rangkaian
olak-balik kapasitor berperan sepesrti sebuah hambatan.
Disipasi daya pada induktor
Disipasi daya pada kapasitor memenuhi 8.34
aan 8.17 dan tegangan VL pada persamaan 8.30 maka si
b
b
I V
P
L L
=
Dengan mensubtitusi arus para persam
[ ]
o m
o L
m L
t I
t X
I P
ϑ ω
π ϑ
ω +
× ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
+ =
cos 2
cos
o o
L m
t t
X I
ϑ ω
ϑ ω
+ ⎟
⎠ ⎜
⎝ +
+ cos
2 cos
π ⎞ ⎛
2
Selanjutnya kita hitung disipasi daya rata-rata, yaitu =
o o
L m
L
⎟ ⎠
⎜ ⎝
2 t
t X
I P
ϑ ω
π ϑ
ω +
⎞ ⎛
+ +
= cos
cos
2
∫
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
+ ×
=
T o
o L
m
dt t
t T
X I
2
cos 2
cos 1
ϑ ω
π ϑ
ω 8.35
ada persamaan 8.35, kita ganti Untuk menyelesaikan integral p
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
2 cos
π ϑ
ω
o
t dengan
o
t ϑ
ω + − sin
sehingga
∫
+ +
− =
o o
L m
L
dt t
t T
X I
P cos
sin
ϑ ω
ϑ ω
T
2
Selanjutnya kita misalkan
315
316
u t
o
= +
ϑ ω
sin Diferensiasi ruas kiri dan kanan maka
du dt
t
o
= +
ϑ ω
ω cos atau
ω ϑ
ω du
dt t
o
= +
cos Dengan demikian
o o
o
t u
udu dt
t t
ϑ ω
ϑ ω
ϑ ω
+ =
= =
+ +
∫ ∫
2 2
sin 2
1 2
1 cos
sin Jadi
[ ]
o o
L m
T o
L m
L
T T
X I
t T
X I
P
ϑ ϑ
ω ϑ
ω
+ −
+ −
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
− =
sin sin
2 sin
2 1
2 2
2 2
2
Mengingat
T 2
π ω
=
ma π
ω
2 =
T
ka sehingga
[ ]
o o
L m
L
T X
I P
ϑ ϑ
π
2 2
2
sin 2
sin 2
− +
− =
arena sifat periodisitas fungsi sinus maka
o o
ϑ ϑ
π sin
2 sin
= +
K dan akhirnya diperoleh
[ ]
sin sin
2
2 2
2
= −
− =
o o
L m
L
P T
X I
ϑ ϑ
Jadi, disipasi daya rata-rata pada induktor juga nol, sama dengan disipasi daya pada kapasitor.
8.10 Diagram Fasor Pada bagian berikutnya kita akan mempelajari rangkaian arus bolak-balik. Pencarian arus dan
gan pada rangkaian ini lebih rumit daripada pencarian yang sama pada rangkaian arus earah. Pada rangkaian arus bolak-balik kita akan memecahkan besaran-besaran yang
mengandung fungsi trigonometri. Untuk mempermudah pembahasan tentang arus bolak-balik, pada bagian ini kita akan
tegan s
317
diagram emudahkan kita dalam melakukan operasi
ljabar pada fungsi-fungsi trigonometri. Karena arus maupun tegangan bolak-balik merupakan fungsi trigonometri maka kita akan merasa tertolong dengan menggunakan diagram fasor. Dalam
diagram fasor, sebuah fungsi trigonometri digambarkan sebagai sebuah vektor dalam koordinat ua dimensi. Panjang vektor tersebut sama dengan amplitudo fungsi dan sudut yang dibentuk
iliki ngsi
mempelajari fasor. Diagram fasor sangat m
a
d vektor dengan arah sumbu datar sama dengan fase fungsi tersebut. Contohnya, kita mem
fu
t A
V
ω
cos =
8.36 m
iagram fasor maka kita akan dapatkan vektor dengan panjang A dan membentuk sudut ωt
rhadap sumbu datar, seperti dintunjukkan dalam Gambar 8.12 Tampak amplitudo fungsi di atas adalah A dan fasenya adalah
ωt. Jika direpresentasikan dala d
te
ωt A
ωt A
Gambar 8.12 Contoh diagram fasor untuk fungsi pada persamaan 8.36 Contoh
Gambarkan diagram fasor fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = cos
Jawab Kita gambarkab vektor yang panjangnya A dan membentuk sudut
o
t ϑ
ω + terhadap sumbu datar.
A
o
t
ϑ ω
+ A
o
t
ϑ ω
+
318
Gambar 8.13 Diagram fasor untuk fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = cos
Cara lain menggambar diagram fasor adalah kita dapat memberikan sudut berapa saja pada arah yang sejajar sumbu datar. Dengan pemberian sudut ini maka sudut antara vektor dengan sumbu
datar sama dengan selisih sudut fase mula-mula dengan sudut yang diberikan dalam arah datar tersebut. Sebagai contoh, untuk fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = cos
kita dapat memberikan sudut
o
ϑ untuk arah datar. Akibatnya, sudut yang dibentuk vektor terhadap arah datar menjadi
ωt saja. Diagram fasornya adalah
ambar 8.14 D
ωt A
o
ϑ
ωt A
ϑ
o
iagram fasor untuk fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = cos
G dengan mengambil sumbu datar
memiliki sudut fasa
o
ϑ Lebih ekstrim lagi, kita dapat juga memberikan sudut
o
t ϑ
ω + untuk arah datar. Pemilihan ini menyebabkan bentuk diagram fasor sebagai berikut
A
o
t
ϑ ω
+ A
o
t
ϑ ω
+
Gambar 8.15 Diagram fasor untuk fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = cos
dengan mengambil sumbu datar memiliki sudut fasa
o
t ϑ
ω +
Tambahan
. Untuk menggambarkan diagran fasor, lebih dianjurkan semua fungsi dinyatakan dalam fungsi kosinus. Jika dijumpai fungsi sinus, maka fungsi tersebut diubah ke fungsi kosinus
dengan menggunakan hubungan
319
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= 2
cos sin
π θ
θ 8.37
Contoh Gambarkan diagram fasor fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = sin
awab J
Pertama, kita ubah fungsi di atas menjadi fungsi kosinus dengan menggunakan hubungan 57.37
⎟ ⎠
⎜ ⎝
− +
= +
= 2
cos sin
ϑ ω
ϑ ω
o o
t A
t A
V ⎞
⎛ π
elanjutnya kita gambarkan diagram fasor dengan memiliki fase arah datar sembarang. Jika kita pilih fase arah datar adalah
S
o
t ϑ
ω + maka diagram fasor menjadi sebagai berikut
Gambar 57.16 Diagram fasor untuk fungsi
o
t A
V ϑ
ω + = sin
8.11 Operasi Trigo Sekarang kita akan mencari hasil penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri dengan
enggunakan diagram fasor. Akan terlihat bahwa yang kita cari nanti ternyata proses han dan pengurangan vektor seperti yang telah kita pelajari di kelas satu.
ontonya, kita akan menjumlahan dua buah fungsi trigonometri
nometri dengan Diagram Fasor
m penjumla
C
t A
V
ω
cos
1 1
=
o
t A
V ϑ
ω + =
cos
2 2
A
o
t ϑ
ω + π2
o
t ϑ
ω + π2
A
320
Kita akan mencari fungsi V = V1 + V2. Yang pertama kali yang akan kita lakukan adalah enggambarkan V1 dan V2 dalam diagram fasor. Karena ke dua fungsi trigonometri di atas
ase ω
i vektor yang searah sumbu datar dan fungsi V2 digambarkan sebagai vektor yang membentuk sudut
m memiliki salah satu komponen fase yang sama yaitu
ωt, maka akan sangat tertolong apabila kita pilih sumbu datar memiliki f
t. Akibatnya, fungsi V1 digmabarkan sebaga
o
ϑ terhadap sumbu datar. Diagram fasornya sebagai berikut
ngsi hasil penjumlahan
ektor metode jaran genjang
A
1
ωt A
2
o
ϑ φ
A
A
1
ωt A
2
o
ϑ φ
A
Gambar 8.17 Diagram fasor fungsi V1 dan V2 serta fu Yang perlu kita cari selanjutnya adalah mencari panjang vektor V yaitu A dan menentukan sudut
yang dibentuk vektor V dengan sumbu datar, yaitu φ. Dengan aturan penjumlahan v
ja kita dapatkan
o
A A
A A
A
ϑ
cos 2
2 1
2 2
2 1
+ +
=
8.38
ntuk menentukan φ, lihat gambar 8.18 berikut ini
U
A
1
ωt A
2
o
ϑ φ
A
o
A ϑ
sin
2
o
A ϑ
cos
2 o
A A
ϑ cos
2 1
+ A
1
ωt A
2
o
ϑ φ
A
o
A ϑ
sin
2
o
A ϑ
cos
2 o
A A
ϑ cos
2 1
+
321
Gambar 8.18 Menentukan sudut fasa fungsi hasil penjumlahan V1 dan V2 Tampak dari gambar di atas, vektor A memiliki komponen arah horizontal
o h
A A
A ϑ
cos
2 1
+ =
8.39 dan komponen arah vertikal
o v
A A
ϑ sin
2
= 8.40
anjang vektor A dapat juga ditulis ditulis dalam bentuk P
2 2
2 2
sin cos
A A
A A
A A
ϑ ϑ
+ +
= +
=
2 2
1 o
o v
h
8.41 Sundut yang dibentum vektor A dengan sumbu datar memenuhi
o o
v
A A
h
A A
A
ϑ ϑ
φ
sin tan
2
= =
cos
2 1
+
8.42 Setelah panjang A dan sudut
φ ditentukan maka fungsi penjumlahan V dapat diperoleh, yaitu φ
ω
+ =
t A
V cos
8.43 Contoh
Dua fungsi trigonometri masing-masing berbentuk
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
3 sin
7
1
π ωt
V dan
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
6 cos
5
2
π ωt
V a Gambarkan diagram fasor yang memuat dua fungsi di atas
b Tentukan persamaan untuk fungsi V = V1+V2 Jawab
Untuk memudahkan kita ubah semua fungsi trigonometri dalam bentuk kosinus. Jadi
⎟ ⎠
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
π π
π π
⎜ −
= ⎟
⎜ −
+ =
⎟ ⎜
+ =
6 cos
7 2
3 cos
7 3
sin 7
1
ω ω
ω t
t t
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ V
322
Untuk menggambar diagram fasor, kita dapat mengambil arah horisontal memiliki sudut a
6
π ω
− t
. Diag an dua fungsi dia atas adalah
ram fasor tampak pada Gbr 8.19 b Amplitudo hasil penjumlah
6 2
cos 5
7 2
5 7
cos 2
2 1
2 2
2 1
+ =
o
A A
A A
A
2 2
π ϑ
× ×
× +
+ =
+
109 =
= 10,4
ωt-π6 A
2
=5 φ
A 6
2 π
A
1
=7 ωt-π6
A
2
=5 φ
A 6
2 π
A
1
=7
Gambar 8.19 Sudut yang dibentum vektor A dengan sumbu datar memenuhi
5 ,
5 7
867 ,
5 6
2 cos
5 7
6 2
sin 5
cos sin
tan
2 1
2
× +
× =
+ =
+ =
=
π π
ϑ ϑ
φ
o o
h v
A A
A A
A
= 0,456 atau
φ = 24,5
o
= 0,14 π
Dengan demikian, kebergantungan fungsi V terhadap waktu menjadi
π ω
π π
ω φ
π ω
03 ,
cos 4
, 10
14 ,
6 cos
4 ,
10 6
cos +
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
= t
t t
A V
.12 Rangkaian Arus Bolak-Balik
dapat melakukan analisis rangaian
8 Berbekal pemahaman tentang diagram fasor maka kita
323
olak-balik dengan mudah. Yang dimaksud dengan rangkaian bolak-balik di sini adalah rangkaian yang dialiri arus bolak-balik. Pada bagian ini kita hanya akan membahas rangkaian
yang mengandung resistor, inductor, dan kapasitor. Pada prinsipnya, komponen apa pun yang dipasang pada rangkaian bolak-balik dapat diganti dengan rangkaian yang mengandung resistor,
kapasitor, dan inductor yang menghasilkan sifat yang serupa.
a Rangkaian RL Seri Rangkaian ini hanya mengandung resistor dan inductor yang disusun secara seri seperti pada Gbr
8.20
ambar 8.20 Contoh rangakain RL seri ita ingin mencari tegangan antara titik a dan b, antara titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari
kita analisis. ikan
b
R L
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c R
L
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c
G K
o m
t I
I ϑ
ω + =
cos Diber
. Tegangan antara dua ujung hambatan memiliki fasa yang sama engan arus. Maka kita dapatkan
d
o m
ab
t R
I V
ϑ ω +
= cos
arus sebesar π2. Maka kita
apatkan Tegangan antara dua ujung inductor memiliki fasa yang mendahului
d
2 cos
π ϑ
ω +
+ =
o L
m bc
t X
I V
dengan
L X
L
ω
=
Tegangan antara ujung kiri resostor dengan ujung kanan inductor menjadi
bc ab
ac
V V
V +
= 2
cos cos
π ϑ
ω ϑ
ω +
+ +
+ =
o L
m o
m
t X
I t
R I
8.44 ahan trigonometri yang tidak sefasa. Maka kita dapat menggunakan
ita pilih sumbu datar memiliki sudut fasa Kita menemui penjuml
diagram fasor untuk menyelesaikannya. Gbr 8.21 adalah diagram fasor yang kita gunakan
I
m
R
o
t ϑ
ω + θ
I
m
X
L
V
m
I
m
R
o
t ϑ
ω + θ
I
m
X
L
V
m
Gambar 8.21 Diagram faror untuk penjumlahan persamaan 8.44
o
t ϑ
ω + K
agar memudahkan penyelesaian. Dengan oras maka
dalil Phitag
2 2
2 2
2 L
m L
m m
m
X R
I X
I R
I +
= +
= V
2 2
L m
X R
I +
= 8.45
dan
R X
R I
X I
L m
L m
= =
θ
tan
8.46
kirnya kita dapatkan bentuk umum tegangan antara titik a dan c sebagai berikut A
θ ϑ
ω +
+ =
o m
ac
t V
V cos
θ ϑ
ω +
+ +
t X
R I
cos
2 2
=
o L
m
8.47 Persamaan 8.45 dapat juga ditulis sebagai
324
θ ϑ
ω +
+ =
o m
ac
t Z
I V
cos 8.48
dengan
2 2
L
X R
Z +
= 8.49
disebut impedansi rangkaian seri RL. Contoh
Hambatan 30 k
Ω dihubungkan secara seri dengan induktor 0,5 H pada suatu rangkaian ac. Hitung impedansi rangkaian jika frekuensi sumber arus adalah a 60 Hz, dan b 5,0
× 10
4
Hz Jawab
a f = 60 Hz maka 60
14 ,
3 2
2 ×
× =
= f
π ω
= 376,8 rads
L
X 5
, 8
, 376
× =
= L
ω = 188,4
Ω
4 2
2 4
2 2
10 3
4 ,
188 10
3 ×
≅ +
× =
+ =
Z
L
X R
= 30 k Ω
4
× ×
= 1,57 × 10
5
Ω b f = 5,0
× 10
4
Hz maka 14
, 3
2 2
× ×
= =
f π
ω = 3,14
× 10 10
5
5
rads 10
14 ,
3
5
× =
= L X
L
ω 5
,
5 10
2 5
2 4
2 2
10 6
, 1
10 55
, 2
10 57
, 1
10 3
× =
× =
× +
× =
+ =
L
X R
Z Ω = 160 kΩ
b Rangkaian RC Seri Rangkaian ini
.22
tara titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari hanya mengandung resistor dan kapasitor yang disusun secara seri seperti pada
Gbr 8
R C
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c R
C
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c
Gambar 8.22 Contoh rangkaian seri RC ita ingin mencari tegangan antara titik a dan b, an
K
325
326
kita analisis n
o m
t I
I ϑ
ω + =
cos Diberika
. Tegangan antara dua ujung hambatan memiliki fasa yang sama engan arus. Maka kita dapatkan
o m
ab
R I
V d
t ϑ
ω + =
cos memiliki fasa yang mengikuti arus dengan keterlambatan
ebesar π2. Maka kita dapatkan
Tegangan antara dua ujung kapasitor s
2 cos
π ϑ
ω −
+ =
o C
m bc
t X
I V
dengan
C X
1 =
C
ω Tegangan antara ujung kiri resistor dengan ujung kanan kapasitor menjadi
c cos
bc ab
ac
V V
V +
= 2
os π
ϑ ω
− +
o
t ϑ
ω +
+ =
C m
o m
X I
t R
I 8.50
Di sini kita menemui penjumlahan trigonometri yang tidak sefasa. Maka kita dapat enggunakan diagram fasor untuk menyelesaikannya. Gbr 8.23 adalah diagram fasor yang kita
lahan persamaan 8.48 m
gunakan
I
m
R
o
t ϑ
ω + θ
I
m
X
C
V
m
I
m
R
o
t ϑ
ω + θ
I
m
X
C
V
m
Gambar 8.23 Diagram fasor untuk penjum Kita memilih sumbu datar memiliki sudut fasa
o
t ϑ
ω + agar memudahkan penyelesaian.
327
s Phitagoras maka Dengan rumu
2 2
2
m C
m m
m
R I
X I
R I
V =
+ =
2 2
C
X +
2 2
C m
X R
I +
=
8.51 an
d
R X
X I
C C
m
= =
θ
tan R
I
m
8.52
erhatikan, sudut θ ada di bawah sumbu datar. Fase yang dimiliki tegangan total sama dengan
bu datar dikurangi sudut θ. Dengan demikian kita dapatkan bentuk umum tegangan
antara titik a dan c sebagai berikut P
fase sum
θ ϑ
ω −
+ =
o m
ac
t V
V cos
θ ϑ
ω
− +
+ =
t X
R I
cos
2 2
o C
m ac
8.53 Persamaan 8.53 dapat juga ditulis sebagai
V
θ ϑ
ω −
+ =
o m
ac
t Z
I V
cos 8.54
dengan
2 2
C
X R
Z +
=
8.55 disebut impedansi rangkaian seri RC.
Contoh Rangkaian seri RC mengandung hambatan 100
Ω dan kapasitansi 1 µF. Jika tegangan antara dua ujung kapasitor adalah 10 cos2000 t +
π6 volt tentukan a Arus yang mengalir
b Tegangan antara dua ujung resistor Tegangan total antara ujung resistor dan ujung kapasitor
awab = 100
Ω c
J Diberikan
R
328
itor C = 10 cos2000 t +
π6 volt Dari sini diperoleh
= 10 V ω = 2000 rads
pedansi kapasitif C = 1
µF = 10
-6
F Tegangan antara dua ujung kapas
V
Cm
V
a Im
6
10 000
2 1
1
−
× =
= C
X
C
ω = 500
Ω Amplitudo arus yang mengalir
2
10 2
500
C m
X
Pada rangkaian seri RC, fase teg
10
−
× =
= =
Cm
V
A
angan antara dua ujung kapasitor mengikuti arus dengan eterlambatan fase
π2. Atau fase arus mendahului fase tagangan antara dua ujung kapasitor dengan beda fase
π2. Karena fase tagangan antara dua ujung kapasitor adalah 2000 t + π6 maka fase arus adalah 2000 t +
π adalah
I
k 6 +
π2 = 2000 t + 4π6. Dengan demikian, fungsi arus
6 4
2000 cos
10 2
6 4
2000 cos
2
π ×
= +
=
−
t I
I π
+ t
m
A b Tegangan antara dua uju
ase tegangan antara dua ujung resistor sama dengan fase arus. Amplitudo tegangan antara dua sistor adalah
= 2 V Karena sama dengan fase arus m
ng resistor. F
ujung re
100 10
2
2
× ×
= =
−
R I
V
m Rm
aka 6
4 2000
cos 2
6 4
2000 cos
π π
+ =
+ =
t t
V V
Rm R
Tegangan total antara ujung resistor dan ujung kapasitor si total antara dua ujung komponen adalah
c Impedan
1 ,
500 500
100
2 2
2 2
= +
= +
=
Ω.
C
X R
Z
Amplitudo tegangan 1
, 500
10 2
2
× ×
= =
−
Z = 10 V
I V
m m
Beda fase antara tegangan total dan arus adalah θ yang memenuhi
5 100
= R
500 tan
= =
X
C
θ atau
θ = 1,373 rad = 0,44π rad.
RC, fase tegangan mengikuti arus dengan keterlambatan fase θ = 0,44π. Karena
se arus adalah 2000 t + 4 π6 maka fase tegangan adalah 2000 t + 4π6 - θ = 2000 t + 4π6 -
π. Jadi, kebergantungan tegangan total terhadap waktu memenuhi
Untuk rangkaian fa
0,44 π = 2000 t + 0,23
π π
23 ,
2000 cos
10 23
, 2000
cos +
= +
= t
t V
V
m
Rangkaian LC Seri
Gambar 8.24 Contoh rangkaian seri LC Kita ingin mencari tegangan antara titik a dan b, an a titik b dan c dan antara titik a dan c. Mari
ita analisis
c Rangkaian ini hanya mengandung induktor dan kapasitor yang disusun secara seri seperti pada
Gbr 8.24
C
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c L
C
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
c L
tar k
Diberikan
o m
t I
I ϑ
ω + =
cos . Tegangan antara dua ujung induktor mendahului arus dengan
sa sebesar π2. Maka kita dapatkan
fa 2
cos π
ϑ ω
+ +
=
o L
m ab
t X
I V
L X
L
ω
=
dengan . Tegangan an
ujung kapasitor memiliki fasa yang mengikuti arus dengan keterlambatan sebesar
tara dua π2. Maka kita dapatkan
329
2 cos
π ϑ
ω −
+ =
o C
m bc
t X
I V
dengan
330
C X
C
ω 1
= Tegangan antara ujung kiri induktor dengan ujung kanan kapasitor menjadi
bc ab
ac
V V
V +
= 2
cos 2
cos π
ϑ ω
π ϑ
ω −
+ +
+ +
o C
m o
L m
t X
I t
X I
engan menggunakan sifat =
π α
α
+ −
= cos cos
D maka kita dapat menulis
π π
ϑ ω
π ϑ
ω +
− +
− =
− +
2 cos
2
o o
t t
cos 2
cos π
ϑ ω
+ +
− =
o
t Dengan demikian kita peroleh
2 cos
2 cos
π ϑ
ω π
ϑ ω
+ +
− +
+ =
o C
m o
L m
ac
t X
I t
X I
V 2
cos π
ϑ ω
+ +
− =
o C
L m
t X
X I
8.56
ambar 8.25 Diagram fasor untuk rangkaian seri LC ena Vab = 0. Kondisi ini terpenuhi jika
o
t ϑ
ω + I
m
X
C
V
m
I
m
X
L
o
t ϑ
ω + I
m
X
C
V
m
I
m
X
L
G Kasus menarik terjadi jika X
L
= X
C
, kar
C L
ω ω
1 =
atau
LC 1
= ω
8.57
Kondisi ini diebut kondisi resonansi dan frekuensi LC
1 =
ω
disebut frekuensi resonansi.
ada kondisi resonansi terdapat beda tegangan antara dua ujung inductor dan antara dua ujung asa sehingga saling
enghilangkan. Akibatnya, ketika inductor dan kapasitor tersusun secara seri maka tegangan antara ujung ujung luar inductor dan ujung luar kapasitor nol.
ontoh ur tegangan antara d
hi 2 sin1000t volt. duktasi inductor adalah 2 mH dan kapasitansi kapasitor adalah 0,25 mF. Tentukan
a arus yang mengalir dalam rangkaian b tegangan antara dua ujung kapasitor
tegangan total antara ujung inductor dan ujung kapasitor total antara ujung kapasitor dan ujung inductor nol
awab Diberikan
L = 2 mH = 2 × 10
-3
H C = 0,25 mF = 2,5
× 10
-4
F ω = 1000 rads
V Reaktasi induktif
= 2 Ω.
Reaktansi kapasitif P
kapasitor. Tetapi kedua tegangan tersebut sama besar dan berlawanan f m
C Pada rengkaian seri RL teruk
ua ujung induksor memenu In
c d frekuensi arus agar tegangan
J
2 =
Lm
V 10
2 1000
3
−
× ×
= = L
X
L
ω
4 10
5 ,
2 1000
1 1
4
= ×
× =
=
−
C X
C
ω Ω
a arus yang mengalir dalam rangaian Arus maksimum yang mengalir memenuhi
1 2
2 = =
=
L Lm
m
X V
I
A besar
π2 radian. Atau fase arus lebih rbelakang sebesar
π2 radian terhadap fase tegangan antara ujung inductor. Karena fase antara engan demikian,
Fase antara dua ujung inductor mendahului arus se te
ujung inductor adalah sin1000t maka fase arus adalah sin1000t - π2. D
331
332
ngsi arus menjadi sin
fu 1000
2 1000
sin 1
2 π
π −
= −
= t
t I
I
m
A angan antara dua ujung kapasitor
egangan maksimum antara ujung kapasitor memenuhi
ase antara dua ujung kapasitor mengikuti arus dengan keterlambatan sebesar π2 radian. Karena
ujung ka 2 = sin1000t - . Dengan demikian, fungsi tegangan antara dua ujung kapasitor adalah
b teg T
=
C m
Cm
X I
V 4
4 1
= ×
= V
F fase arus adalah sin1000t -
π2 maka fase antara dua pasitor adalah sin1000t -
π2 - π
π π
π −
= −
= t
t V
V
Cm C
1000 sin
4 1000
sin
t 1000
sin 4
− =
c tegangan total antara ujung inductor dan ujung kapasitor
C R
V V
V +
=
t t
t 1000
sin 3
1000 sin
4 1000
sin 1
− =
− =
volt d frekuensi arus agar tegangan total antara ujung kapasitor dan ujung inductor nol
Kondisi ini dicapai saat resonansi yang memenuhi
1414 10
5 ,
2 10
2 1
4 3
= ×
× ×
=
− −
rads
c Rang RLC Seri
ih lanjut ke rangkaian RLC yang disusun secara seri seperti pada Gbr 8.26
1 =
LC ω
kaian
Sekarang kita meningkat leb
R L
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
C c
d R
L
I = I
m
cos ωt+ϕ
o
a b
C c
d
333
but mengalir arus Gambar 8.26 Contoh rangkaian seri RLC
Pada rangkaian terse
o m
t I
I ϑ
ω + =
cos . Kita akan menghitung Vab, Vbc,
cd, Vac, Vbd, dan Vad erdasarkan pembahasan di atas dengan segera kita dapatkan
V B
o m
ab
t R
I V
ϑ ω +
= cos
2 cos
π ϑ
ω +
+ =
o L
m bc
t X
I V
cos 2
π −
ϑ ω +
=
o C
m cd
t X
I V
Antara titik a dan c terdapat resistor dan induktor yang disusun secara seri sehingga
2 2
cos θ
ϑ ω
+ +
+ =
t X
R I
1 o
L m
aC
dengan V
R X
L
tan
1
=
θ ntara titik b dan d terdapat induktor dan kapasitor yang disusun secara seri sehingga
A 2
cos π
ϑ ω
+ +
− =
o C
L m
bd
t X
X I
V Antara titik a dan d terdapat tiga komponen yang disusun secara seri sehingga tegangan total
emenuhi m
cd bc
ab ad
V V
V V
+ +
= 2
cos 2
cos cos
π ϑ
ω π
ϑ ω
ϑ ω
− +
+ +
+ +
+ =
o C
m o
L m
o m
t X
I t
X I
t R
I 8.58
Penjumlahan tiga suku trigonometri di atas d gkapkan dalam diagram fasor seperti pada
Gbr 8.27 apat diun
o
t
ϑ ω
+ I
m
X
C
V
m
I
m
X
L
θ I
m
R
o
t
ϑ ω
+ I
m
X
C
V
m
I
m
X
L
θ I
m
R
334
Gambar 8.27 Diagram fasor untuk penjumlahan pada persamaan 8.58 Dengan dalil Phitagoras maka
2 2
C m
L m
m m
X I
X I
R I
V −
+ =
2 2
C L
m
X X
R I
− +
= 8.59
engan Z
I
m
= d
2 2
C L
X X
R Z
− +
= 8.60
dalah impedansi rangkaian seri RLC. Dari gambar kita juga melihat bahwa a
X R
X R
I X
I X
I
C L
m C
m L
m
− =
− =
θ
tan
8.61
engan demikian, bentuk umum tegangan antara titik a dan d sebagai fungsi waktu adalah D
θ ϑ
ω +
+ =
o m
ad
t Z
I V
cos 8.62
ontoh itor 5
µF. egangan antara dua ujung kapasitor adalah 8 cos1000t +
π3 volt. Tentukan a fungsi arus yang mengalir
tegangan antara dua ujung resistor total antara ujung kiri komponen paling kiri dan ujung kanan komponen paling
anan Jawab
iberikan
C = 5 µF = 5 × 10
-6
F C
Rangkaian RLC seri mengandung hambatan 100 Ω, inductor 0,05 H, dan kapas
T b
c tegangan antara dua ujung induktor d tegangan
k
D R = 100
Ω L = 0,05 H
335
ω = 1000 rads Tegangan antara dua ujung kapasitor
3 1000
cos 8
π +
= t
V
C
volt Dari sini tampak bahwa
volt Reaktansi induktif
8 =
Cm
V
50 05
, 1000
= ×
= = L
X
L
ω Ω
Reaktansi kapasitif 200
10 5
1000 1
1
6
= ×
× =
=
−
C X
C
ω Ω
fungsi arus yang mengalir rus maksimum yang mengalir
a A
02 ,
400 8 =
= =
C Cm
m
X V
I
A Fase arus mendahului fase tegangan antara ujung kapasator dengan fase sebesar
π2. Fase tegangan antara ujung kapasitor adalah 1000t +
π3. Maka fase arus adalah 1000t + π3 + π2 = 1000t + 5
π6. Jadi fungsi arus menjadi 6
5 1000
cos 02
, 6
5 1000
cos π
π +
= +
= t
t I
I
m
A tegangan antara dua ujung resistor
Tegangan maksimum antara dua ujung resistor
m Rm
volt ase tagangan antara ujung resistor sama dengan fase arus. Dengan demikian, fungsi tegangan
antara ujung resistor adalah b
V 2
100 02
, =
× =
= R
I F
6 5
1000 cos
2 6
5 1000
cos π
π +
= +
= t
t V
V
Rm R
volt tegangan antara dua ujung induktor
Tegangan maksimum antar
L
X volt
ar π2. Fase arus
c a dua ujung induktor
=
m Lm
I V
1 50
02 ,
= ×
= Fase tagangan antara ujung induktor mendahui fase arus dengan fase sebes
336
n demikian, fase tegangan antara ujung induktor adalah 1000t + a, fungsi tegangan antara ujung induktor adalah
adalah 1000t + 5 π6. Denga
5 π6 + π2 = 1000t + 8π6. Akhirny
6 8
1000 cos
1 6
8 1000
cos π
π +
= +
= t
t V
V
Lm L
volt d tegangan total antara ujung kiri komponen paling kiri dan ujung kanan komponen paling
otal rangkaian kanan
Impedansi t
180 32500
200 50
100
2 2
2 2
= =
− +
= Ω.
mum antara ujung kiri dan ujung kanan rangkaian −
+ =
C L
X X
R Z
Tegangan maksi 180
02 ,
= ×
= =
Z I
V
m m
6 ,
3 volt gan tegangan maksimum ini memenuhi
Beda fase antara arus den
5 ,
1 100
150 100
200 50
tan −
= −
= −
= − X
X
L
= R
C
θ
θ = -0,98 rad = - 0,31π rad. if lebih kuat dari sifat konduktif maka secera keseluruhan rangkaian bersifat
kapasitif. Fasa tegangan antara ujung ke ujung rangkaian mengalami keterlambatan dari fasa arus. Fasa arus adalah 1000t + 5
π6. Maka fasa tegangan adalah 1000t + 5π6 – 0,31π = 1000t + total menjadi
atau Karena sifat kapasit
+0,52 π. Jadi, fungsi tegangan
π π
52 ,
1000 cos
6 ,
3 52
, 1000
cos +
= +
= t
V V
m
t volt
8.13 Faktor Daya