⎟⎟ ⎞
⎜ ⎛
⎟ ⎞
⎜ ⎛
+ ×
= =
t I
R RI
V ϑ
π 2
cos ⎠
⎜ ⎝
⎠ ⎝
o m
T ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
=
o m
t T
V ϑ
π 2
cos 8.2
dengan ad
rus terhadap waktu alir pada jaringan listrik PLN merupakan tegangan bolak-balik sinusoidal.
egangan sinusoidal merupakan tegangan yang paling mudah dihasilkan. Dengan memutar
n Rata-Rata
da sejumlah alat ukur yang dirancang yang hanya dapat mengukur nilai rata-rata suatu besaran. rata-rata, berapa tegangan rata-rata yang dihasilkan arus bolak-balik?
m m
RI V
= alah amplitudo tegangan. Gbr 8.3 adalah contoh kurva tegangan maupun
a Tegangan yang meng
T lilitan dalam medan magnet dengan kecepatan sudut konstan maka dihasilkan tegangan
sinusoidal. Kebanyakan pembangkit listrik PLN dihasilkan dengan memutar kumparan dalam medan magnet atau memutar magnet di dalam kumparan sehingga dihasilkan tegangan
sinusoidal.
8.3 Teganga A
Jika ada alat ukur tagangan Berapa juga arus rata-ratanya? Kita dapat mencarinya sebagai berikut.
Tegangan rata-rata didefinisikan sebagai berikut
∫
∞ →
=
τ
1 lim
τ τ
Vdt V
8.3 Integral di atas dilakukan terhadap waktu dan perata-rataan dilakukan pada selang waktu
τ enuju tak berhingga. Untuk fungsi sinusoidal, perata-rataan di atas menghasilkan nilai yang
m sama dengan perata-rataan selama satu periode saja. Jadi, tegangan rata-rata dapat ditulis dalam
bentuk
∫
=
T
Vdt T
V 1
8.4 Dengan menggunakan V pada persamaan 8.2 maka didapat
302
∫ ∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
T o
m T
o m
dt t
T T
V dt
t T
V T
V 2
cos 2
cos 1
ϑ π
ϑ π
8.5 Untuk memudahkan penyelesaian integral di atas kita misalkan
x t
T
o
= +
ϑ π
2 8.6
Diferensiansi ruas kiri dan kanan maka
dx dt
T =
π 2
atau
dx T
dt π
2 =
8.7 Substitusi persamaan 8.6 dan 8.7 ke dalam persamaan 8.5 diperolel
x V
dx x
V dx
T x
T V
V
m m
m
sin 2
cos 2
2 cos
π π
π
= =
× =
∫ ∫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
⎥ ⎦
⎤ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
=
o o
m T
o m
T T
T V
t T
V ϑ
π ϑ
π π
ϑ π
π 2
sin 2
sin 2
2 sin
2
[ ]
[ ]
sin sin
2 sin
2 sin
2 =
− =
+ −
+ =
o o
m o
o m
V V
ϑ ϑ
π ϑ
ϑ π
π Pada baris terakhir kita sudah menerapkan sifat periodisitas fungsi sinus dengan periode 360
o
atau 2 π radian, yaitu
o o
ϑ ϑ
π sin
2 sin
= +
. Jadi, nilai rata-rata tegangan bolak balik sinusoidal adalah nol.
Dengan menggunakan hokum Ohm R
V I
= maka nilai rata-rata arus bolak balik adalah
0 = =
= R
R V
I
303
Jadi, nilai rata-rata arus bolak balik sinusoidal juga nol. Nilai rata-rata nol dapat dimengerti karena selama setengah periode, tegangan dan arus memiliki nilai positif dan setengah periode
berikutnya memiliki nilai negatif. Dengan demikian, nilai tegangan atau arus pada masing-masing setengah periode tersebut saling menghilangkan. Akibatnya tegangan dan arus
rata-rata menjadi nol.
8.4 Tegangan root mean square rms Untuk arus bolak-balik, nilai rata-rata tidak memberikan informasi yang lengkap tentang besaran
arus atau tegangan, misalnya amplitudo. Karena berapapun besar amplitudo, nilai rata-rata selalu nol. Apabila kita gunakan alat ukur tegangan rata-rata maka kita akan amati tegangan listrik PLN
selalu nol. Agar diperoleh data yang lebih informatif maka didefinisikan besaran lain yang dipakai pada arus bolak-balik. Besaran tersebut adalah besaran rms root mean square.
Tegangan dan arus rms didefinisikan sebagai
2
V V
rms
=
8.8
2
I I
rms
=
8.9 Tampak dari definisi bahwa untuk mendapatkan nilai rms maka kita melakukan tiga langkah,
yaitu i
besaran tersebut dikuadratkan ii
menghitung nilai rata-rata besaran yang dikuadratkan tersebut iii
mengambil akar besaran yang telah dihitung nilai rata-ratanya. Contoh betikut adalah bagaimana kita menghitung nilai rms dari tegangan bolak-balik
sinusoidal.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o m
t T
V V
ϑ π
2 cos
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o m
t T
V V
ϑ π
2 cos
2 2
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o m
o m
t T
V t
T V
V ϑ
π ϑ
π 2
cos 2
cos
2 2
2 2
2
dt t
T T
V
T o
m
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ×
=
2 2
2 cos
1
ϑ π
8.10
304
Kembali kita misalkan
x t
T
o
= +
ϑ π
2 8.6
Diferensiasi ruas kiri dan kanan maka
dx dt
T =
π 2
atau
dx T
dt π
2 =
8.7 Substitusi persamaan 8.6 dan 8.7 ke dalam persamaan 8.10 diperoleh
∫ ∫
= ×
= dx
x V
dx T
x T
V V
m m
2 2
2 2
2
cos 2
2 cos
1 π
π 8.11
Untuk menyelesaikan integral di atas, kita transformasi sebagai berikut
x
2
cos x
x x
2 2
sin cos
2 cos
− =
1 cos
2 sin
1 cos
2 2
2
− =
− −
= x
x x
atau
x x
2 cos
2 1
2 1
cos
2
+ =
812 Dengan demikian
x x
dx x
dx dx
x xdx
2 sin
4 1
2 1
2 cos
2 1
2 1
2 cos
2 1
2 1
cos
2
+ =
+ =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡ +
=
∫ ∫
∫ ∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o o
t T
t T
ϑ π
ϑ π
2 2
sin 2
1 2
2 1
8.13 Substitusi 8.13 ke persamaan 8.11 diperoleh
305
T o
o m
t T
t T
V V
2 2
2 2
sin 2
1 2
2 1
2 ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
= ϑ
π ϑ
π π
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o o
o o
m
T T
T T
T T
V V
ϑ π
ϑ π
ϑ π
ϑ π
π
2 2
sin 2
1 2
2 1
2 2
sin 2
1 2
2 1
2
2 2
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
+ =
o o
o o
m
V
ϑ ϑ
ϑ π
ϑ π
π
2 sin
2 1
2 1
2 2
sin 2
1 2
2 1
2
2
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
+ =
o o
o m
V
ϑ ϑ
ϑ π
ϑ π
π
2 sin
2 1
2 2
4 sin
2 1
2 2
2
Mengingat sifat periodisitas fungsi sinus maka
o o
ϑ ϑ
π 2
sin 2
4 sin
= +
maka kita dapat menulis
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
=
o o
o m
V V
ϑ ϑ
ϑ ϑ
π π
2 sin
2 1
2 2
sin 2
1 2
2
2 2
2 2
2 2
m m
V V
= ×
=
π π
Akhirnya, tegangan rms menjadi
2
2 2
m rms
V V
V =
=
2
m
V =
8.14 Contoh
Tegangan listrik PLN di Indonesia memiliki frekuensi 50 Hz. Tegangan yang dialirkan ke rumah tangga besarnya 220 V. Nyatakan tegangan tersebut sebagai fungsi waktu
Jawab Diberikan
f = 50 Hz
Maka periode adalah 50
1 1 =
= f
T s
Tegangan 220 V yang dialirkan ke rumah tangga merupakan tegangan rms. Jadi, Vrms = 220 V.
306
Dengan demikian, amplitudo tegangan adalah
2 220
2 =
× =
rms m
V V
volt Kita dapatkan tegangan sebagai fyngsi waktu sebagai berikut
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o o
m
t t
T V
t V
ϑ π
ϑ π
50 1
2 cos
2 220
2 cos
o
t
ϑ π
+ =
100 cos
2 220
dengan
o
ϑ dapat diberi nilai sembarang.
8.5 Daya dan Daya Rata-Rata Seperti pada arus searah, pada arus bolak-balik disipasi daya pada sebuah hambatan juga
merupakan perkalian arus dan tegangan antara dua ujung hambatan. Misalkan sebuah hambatan R dialiri arus bolak-balik. Misalkan tegangan antara dua ujung hambatan memenuhi
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
o m
t T
V V
ϑ π
2 cos
Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada hambatan adalah
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
=
o m
t T
R V
R V
I ϑ
π 2
cos Disipasi daya pada hambatan memenuhi
R V
VI P
2
= =
Disipasi daya rata-rata pada hambatan adalah
R V
R V
P
2 2
= =
8.15 Pembilang pada persamaan 8.15 tidak lain daripada kuadrat dari tegangan rms. Jadi kita dapat
menulis
307
R V
P
rms 2
= 8.16
8.6 Tegangan bolak balik pada dua ujung hambatan Misalkan arus bolak-balik yang mengalir pada hambatan adalah
o m
t I
I ϑ
ω + =
cos 8.17
dengan T
π ω 2
= . Berapa tegangan antara dua ujung hambatan tersebut?
V
R
R I = I
m
cos ωt+ϕ
o
V
R
R I = I
m
cos ωt+ϕ
o
Gambar 8.6 Arus bolak-balik melewati sebuah hambatan
ambar 8.7 Kurva tegangan dan arus sebagai fungsi waktu kerika arus bolak-balik dilewatkan
ωt I
I
m
-I
m
ωt V
R
I
m
R
-I
m
R ωt
I I
m
-I
m
ωt V
R
I
m
R
-I
m
R
G
308
pada sebuah resistor
309
egangan tersebut dapat dicari dengan menggunakan hokum Ohm, yaitu T
o m
R
t R
I IR
V ϑ
ω + =
= cos
8.18 ampak bahwa arus dan tegangan berubah secara bersamaan. Ketika arus nol, tegangan pun nol
.7 Tegangan antara dua ujung kapasitor
juga memenuhi persamaan 8.17. Berapa tegangan
ambar 8.8 Arus bolak-balik melewati sebuah kapasitor at dihitung dengan persamaan
T dan ketika arus maksimum, tegangan pun maksimum. Jika kita buatkan kurva arus dan tegangan
maka kita dapatkan Gambar 8.7
8 Misalkan arus yang mengalir pada kapasitor
antara dua ujung kapasitor tersebut? Lihat Gambar 8.8
C I = I
m
cos ωt+ϕ
o
V
C
C I = I
m
cos ωt+ϕ
o
V
C
G Mari kita hitung. Tegangan antara dua ujung kapasitor dap
C Q
V =
8
C
.19 Selanjutnya kita m
ada kapasitor. enentukan Q dengan cara mengintegralkan terhadap waktu arus yang mengalir
p
∫ ∫
∫
= =
I Idt
Q +
= +
dt t
I dt
t
o m
o m
ϑ ω
ϑ ω
cos cos
o m
t I
ϑ ω
ω
+ =
sin
8.20 Dengan demikian, tegangan antara dua ujung kapasitor adalah
o m
C
t C
I V
ϑ ω
ω
+ =
sin
8.21
ersamaan 8.21 di atas dapat ditulis sebagai P
o C
m C
t X
I V
ϑ ω +
= sin
8.22 engan
d
C X
C
ω 1
= 8.23
eranan XC sama dengan peranan hambatan. Jadi pada arus bolak-balik kapasitor berperan
ambar 8.9 Kurva arus dan tegangan ketika arus bolak-balik melewati sebuah kapasitor t. Jika
ekuensi arus sangat besar maka hambatan kapasitor makin kecil. Untuk frekuensi yang menuju P
sebagai hambatan dengan nilai hambatan XC. Besaran ini sering dinamakan reaktansi kapasitif.
II
ωt I
m
-I
m
ωt V
C
I
m
X
c
-I
m
X
c
π2 ωt
I
m
-I
m
ωt V
C
I
m
X
c
-I
m
X
c
π2
G Hambatan kapasitor bergantung pada frekuensi arus yang melewati kapasitor tersebu
fr
310
311
kita mendapatkan hubungan tak berhingga maka hambatan kapasitor menuju nol, yang berarti kapasitor seolah-olah
terhubung singkat. Sebaliknya jika frekuensi arus yang mengalir pada kapasitor menuju nol maka hambatan kapasitor menuju tak berhingga. Dalam kondisi ini kapasitor berperilaku sebagai
sebuah saklar yang terbuka. Ini penyebab mengapa kapasitor tidak dapat dilewati arus DC. Arus DC memiliki frekuensi nol.
Dengan aturan trigonometri
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= +
cos sin
π ϑ
ω ϑ
ω t
t ⎠
⎝ 2
o o
8.24 Dengan demikian, tegangan antara dua ujung kapasitor dapat ditulis sebagai
⎟ ⎞
⎜ ⎛
− +
= cos
π ϑ
ωt X
I V
⎠ ⎝
2
o C
m C
8.25 Kurva arus yang mengalir pada kapasitor dan tegangan antara dua ujung kapasitor tampak pada
ambar 8.9. Tampak pada Gambar 8.9 bahwa kurva tegangan dapat diperoleh dari kurva arus G
dengan menggeser fasa sebesar π2 atau 90o. Dengan kata lain tegangan antara dua ujung
kapasitor muncul lebih lambat daripada arus. Atau tegangan pada kapasitor mengikuti arus dengan keterlambatan fasa
π2.
8.8 Tegangan antara dua ujung inductor
