3. Limit Fungsi Aljabar
a. Limit Fungsi
� � untuk � ⟶ �
Langkah-langkah menentukan lim
�→
= , ∈ ℝ sebagai
berikut: 1
Tentukan nilai lim f x dengan mensubtitusikan nilai x = a pada
fungsi f x . Dengan demikian kita memperoleh lim
x→a
f x = f a . o
Jika ≠ , maka nilai lim
�→
telah diperoleh o
Jika = bentuk tak tentu, maka lanjutkan ke langkah
2. 2
Tentukan lim
�→
dengan cara memfaktorkan. Dari langkah-langkah di atas, Berikut ini beberapa metode
yang dapat digunakan untuk menentukan nilai suatu limit antara lain: 1
Metode Subtitusi Jika fungsi
mempunyai nilai tertentu untuk = , maka
lim
�→
= , jika
≠ . 2
Metode Pemfaktoran Jika
=
� ℎ �
dan dengan subtitusi langsung =
diperoleh =
� ℎ �
= , bentuk dan
ℎ difaktorkan
lebih dahulu sehingga mempunyai faktor yang sama dan dapat disederhanakan sedimikian sehingga
≠ . Selanjutnya perhitungan limit dapat dilakukan dengan cara subtitusi.
Secara umum, cara menyelesaikan limit fungsi bentuk
tak tentu dengan memfaktorkan adalah sebagai berikut: lim
�→
= lim
�→
ℎ = lim
�→
− � −
= lim
�→
�
3 Metode mengalikan dengan akar sekawan
Beberapa fungsi yang akan ditentukan limitnya merupakan sebuah fungsi irrasional sehingga sulit untuk difaktorkan. Untuk
bentuk seperti ini, kita harus menghilangkan tanda akar dengan cara mengalikannya dengan akar sekawan. Setelah itu baru
difaktorkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita pelajari di kelas X, antara lain:
a Pecahan berbentuk
√
dikalikan dengan
√ √
sehingga diperoleh:
√ =
√ ×
√ √
= √
b Pecahan berbentuk
+√
dikalikan dengan
−√ −√
sehingga diperoleh
+ √ =
+ √ .
− √ − √
= − √
−
b. Limit Fungsi
� � untuk � ⟶ ∞
1 Bentuk
lim
�→∞ �
ℎ �
Jika kita melakukan subtitusi langsung pada limit tersebut maka akan diperoleh bentuk
∞ ∞
. Penyelesaian limit dapat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dilakukan dengan membagi bagian pembilang dan bagian
penyebut ℎ
dengan , dengan pangkat tertinggi dari fungsi
atau ℎ .
Berdasarkan derajat dan koefisien pangkat tertinggi, lim
�→∞ �
ℎ �
dapat ditetapkan sebagai berikut: a
Jika pangkat tertinggi = pangkat tertinggi ℎ
, maka lim
�→∞
ℎ =
koefisien pangkat tertinggi koefisien pangkat tertinggi
b Jika pangkat tertinggi
pangkat tertinggi ℎ , maka
lim
�→∞
ℎ = ∞
c Jika pangkat tertinggi
pangkat tertinggi ℎ , maka
lim
�→∞
ℎ =
Penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa secara umum diperoleh:
lim
�→∞ � + �
−
+ �
−
+⋯+ � + �
−
+ �
−
+⋯+
= Jika
= maka = , Jika
maka = ∞ Jika
maka = 2
Bentuk lim
�→∞
√ − √ℎ
Jika kita melakukan subtitusi langsung pada limit tersebut maka akan diperoleh bentuk
∞ − ∞. Penyelesaian limit dapat dilakukan dengan mengalikan dengan faktor sekawan, yaitu
√ � +√ℎ � √ � +√ℎ �
, kemudian membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi pembilang atau penyebut.
4. Kontinuitas dan Diskontinuitas